Question

8．兩個(gè)行星各有一個(gè)衛(wèi)星繞其表面運(yùn)行，已知兩個(gè)衛(wèi)星的周期之比為1：2，兩行星半徑之比為2：1，則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． 兩行星密度之比為4：1
• B． 兩行星質(zhì)量之比為32：1
• C． 兩行星表面處重力加速度之比為16：1
• D． 兩衛(wèi)星的速率之比為$\sqrt{8}$：1

Answer 1

分析 研究任一衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情形，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式求出行星的質(zhì)量、衛(wèi)星的速率，再得到行星的密度．忽略行星自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式．再求各個(gè)量之比．

解答 解：A、任一衛(wèi)星繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
則得行星的質(zhì)量 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
行星的密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
兩個(gè)衛(wèi)星的周期之比為1：2，由上式可得，兩行星密度之比為4：1，故A正確．
B、行星質(zhì)量為 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，已知兩個(gè)衛(wèi)星的周期之比為1：2，兩行星半徑之比為2：1，由此可得，兩行星質(zhì)量之比為32：1，故B正確．
C、忽略行星自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，得 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，得 g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
結(jié)合兩行星半徑之比為2：1，質(zhì)量之比為32：1，解得兩行星表面處重力加速度之比為8：1，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式 v=$\frac{2πR}{T}$，可得兩衛(wèi)星的速率之比為4：1，故D錯(cuò)誤．
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星問(wèn)題，關(guān)鍵是建立模型，掌握兩條基本思路：萬(wàn)有引力等于向心力和萬(wàn)有引力等于重力，運(yùn)用列式分析比例關(guān)系．