Question

3．設(shè)地球的半徑為R₀，質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在距地面R₀高處做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地面的重力加速度為g，則下列說法中正確的是（　　）

• A． 衛(wèi)星的線速度為$\frac{\sqrt{2g{R}_{0}}}{2}$
• B． 衛(wèi)星的角速度是$\sqrt{\frac{g}{2{R}_{0}}}$
• C． 衛(wèi)星的加速度為$\frac{g}{2}$
• D． 衛(wèi)星的周期為4π$\sqrt{\frac{2{R}_{0}}{g}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma，萬有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，求出衛(wèi)星的線速度、角速度、周期和加速度．

解答 解：A、在地球的表面，萬有引力等于重力$\frac{GMm}{{{R}_{0}}^{2}}=mg$，得GM=$g{{R}_{0}}^{2}$，根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{2{R}_{0}}}=\frac{\sqrt{2g{R}_{0}}}{2}$．故A正確．
    B、同理得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{（2{R}_{0}）^{3}}}=\sqrt{\frac{g}{8{R}_{0}}}$．故B錯(cuò)誤．
    C、同理得：$a=\frac{GM}{{r}^{2}}=\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{（2{R}_{0}）^{2}}=\frac{g}{4}$．故C錯(cuò)誤．
    D、衛(wèi)星的周期：$T=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{32{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{g{{R}_{0}}^{2}}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{8{R}_{0}}{g}}$．故D正確．
故選：AD．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$=ma以及萬有引力等于重力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$．