Question

12．如圖所示，質量相同的三個小球從足夠長的斜面上同一點O分別以初速度v₁、v₂、v₃水平拋出，落在斜面上的位置分別為A、B、C，已知OA=AB=BC，空氣阻力不計，則（　�。�

• A． v₁：v₂：v₃=1：2：3
• B． 落到斜面時的速度方向不同
• C． 落到斜面時的動能之比為1：2：3
• D． 落到斜面時的動能增量之比為1：4：9

Answer 1

分析 三個小球做平拋運動，運用運動的分解法，得出斜面的長度與初速度、運動時間的關系，再求解初速度、時間的比值．根據(jù)動能定理研究動能的增量．

解答 解：A、設物體的初速度為v₀，斜面的傾角為α，斜面落點到O點的長度為L．
則小球落在斜面上時，有 tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，得t=$\frac{2{v}_{0}tanα}{g}$
則有 L=$\frac{x}{cosα}$=$\frac{{v}_{0}t}{cosα}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanα}{gcosα}$
α、g一定，則得到 L∝${v}_{0}^{2}$
由于OA=AB=BC，則OA：OB：OC=1：2：3，由上式得 v₁：v₂：v₃=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$．故A錯誤．
B、設小球落到斜面上時速度與水平方向的夾角為θ，則有 tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanα，與初速度無關，則知落到斜面時的速度方向相同．故B錯誤．
C、小球落在斜面上速度平方為v²=${v}_{0}^{2}$+（gt）²=${v}_{0}^{2}$（1+4tan²θ）
落到斜面時的動能為 E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$（1+4tan²θ）∝${v}_{0}^{2}$，所以落到斜面時的動能之比為1：2：3，故C正確．
D、根據(jù)動能定理得，飛行過程中動能增量△E_k=mgLsinθ=2mg${v}_{0}^{2}$tan²θ∝${v}_{0}^{2}$，得飛行過程中動能增量之比為1：2：3．故D錯誤．
故選：C

點評 本題中斜面的傾角反映了位移與水平方向的夾角，關鍵確定兩個方向的位移關系得出時間表達式．