Question

15．谷歌公司日前公布了英國的“街道視圖”，它涵蓋25個(gè)城市，包括數(shù)千萬張圖片．?dāng)?shù)小時(shí)后，網(wǎng)頁的點(diǎn)擊率達(dá)到數(shù)百萬次．它是把衛(wèi)星照片、航空照相和地理信息系統(tǒng)（GIS）布置在一個(gè)地球的三維模型上，網(wǎng)友稱作“谷歌地球”．從衛(wèi)星來說，有低軌衛(wèi)星，中軌衛(wèi)星和高軌衛(wèi)星，這三種衛(wèi)星都可以拍攝照片．
現(xiàn)設(shè)有一顆在赤道上方飛行的中軌衛(wèi)星，其軌道半徑為r=3R（A為地球半徑），已知地球表面的重力加速度為g，求：
（1）該衛(wèi)星的運(yùn)行周期為多少？
（2）若衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，已知地球的自轉(zhuǎn)角速度為A，某一時(shí)刻該衛(wèi)星通過赤道上某建筑物上方，至少經(jīng)過多長時(shí)間它將再次出現(xiàn)在該建筑物上方？

Answer 1

分析 （1）人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解衛(wèi)星的運(yùn)行周期和速率．
（2）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空．

解答 解：（1）由萬有引力提供向心力可知：$G\frac{{M{m_{\;}}}}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
設(shè)在地球表面有一物體質(zhì)量為m₀，該物體并所受萬有引力近似等于其重力知：$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}g$
聯(lián)立以上兩式結(jié)合已知條件可得：$T=6π\(zhòng)sqrt{\frac{3R}{g}}$
（2）設(shè)衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω；至少經(jīng)過時(shí)間t它將再次出現(xiàn)在該建筑物上方時(shí)，衛(wèi)星比建筑物多轉(zhuǎn)了一圈，有：$ω=\frac{2π}{T}$
ωt-ω₀t=2π
由以上幾式可解得：$t=\frac{2π}{{\sqrt{\frac{g}{27R}}-{ω_0}}}$
答：（1）該衛(wèi)星的運(yùn)行周期為$6π\(zhòng)sqrt{\frac{3R}{g}}$．
（2）至少經(jīng)過$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{27R}}-{ω}_{0}}$，它將再次出現(xiàn)在該建筑物上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力．第（2）問對(duì)于建筑物與衛(wèi)星的角速度大小關(guān)系不能，可將衛(wèi)星與同步衛(wèi)星相比較得到．