Question

13．空間有一靜電場(chǎng)，在x 軸上的電場(chǎng)方向豎直向下，軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小按E=kx 分布（x 是軸上某點(diǎn)到O 點(diǎn)的距離），如圖所示．在O 點(diǎn)正下方有一長(zhǎng)為L(zhǎng) 的絕緣細(xì)線連接A、B 兩個(gè)均帶負(fù)電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），A 球距O 點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，兩球恰好靜止，細(xì)繩處于張緊狀態(tài)．已知A、B 兩球質(zhì)量均為m，B 所帶電量為-q，k=$\frac{mg}{2qL}$，不計(jì)兩小球之間的靜電力作用．
（1）求A球的帶電量；
（2）剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，求A球運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（3）剪斷細(xì)線后，求B球的運(yùn)動(dòng)范圍．

Answer 1

分析 （1）選取AB組成的整體為研究的對(duì)象，寫(xiě)出平衡方程，即可求得A的電量；
（2）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度大小按E=kx分布，當(dāng)A球受到的重力與電場(chǎng)力相等時(shí)，受到最大；根據(jù)動(dòng)能定理即可求得A球運(yùn)動(dòng)的最大速度；
（3）剪斷細(xì)線后，B球的先向下做加速運(yùn)動(dòng)，隨受到的電場(chǎng)力的增大，加速度減小，所以B球做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)電場(chǎng)力大于重力之后，小球B做減速運(yùn)動(dòng)，直至返回．根據(jù)它受力的特殊性和運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性即可求解．

解答 解：（1）A、B兩球靜止時(shí)，A球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為：E₁=k•L=$\frac{mg}{4q}$
B球所處位置場(chǎng)強(qiáng)為：E2=k•2L=$\frac{mg}{2q}$
對(duì)A、B由整體法得：2mg+q_AE₁=qE₂
解得：q_A=-6q
（2）A球所受電場(chǎng)力F與x的關(guān)系式為：F₁=q_AE₁=-6qkx=$\frac{3mg}{2L}x$
剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A球的加速度為零時(shí)，速度達(dá)到最大，
此時(shí)設(shè)A球距O點(diǎn)距離為x₁，則有：
mg=$\frac{3mg}{2L}$x₁，
解得：x₁=$\frac{2}{3}L$
位移△x₁=L-x₁=$\frac{L}{3}$
由動(dòng)能定理可知，$\overline{{F}_{1}}•△{x}_{1}-mg△{x}_{1}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-0$
其中$\overline{{F}_{1}}$=$\frac{\frac{3mg}{2L}•L+\frac{3mg}{2L}{x}_{1}}{2}$=$\frac{5}{4}mg$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gL}{6}}$
（3）剪斷細(xì)線后，設(shè)B球向下運(yùn)動(dòng)最大位移為△x₂時(shí)，速度變?yōu)榱悖?br />此時(shí)F₂=qE=q$\frac{mg}{4qL}$（2L+△x₂）=$\frac{mg}{4L}$（2L+△x₂），
剪由動(dòng)能定理，mg△x₂-$\overline{{F}_{2}}$•△x₂=0．
其中$\overline{{F}_{2}}=\frac{q\frac{mg}{4qL}×2L+q\frac{mg}{4qL}（2L+△{x}_{2}）}{2}$=$\frac{mg}{8qL}（4L+△{x}_{2}）$
解得：△x₂=4L
則B球的運(yùn)動(dòng)范圍是：2L≤x≤6L；
答：（1）A球的帶電量為-6q；
（2）剪斷細(xì)線后，A球向上運(yùn)動(dòng)，A球運(yùn)動(dòng)的最大速度$\sqrt{\frac{gL}{6}}$；
（3）剪斷細(xì)線后，B球的運(yùn)動(dòng)范圍是：2L≤x≤6L．

點(diǎn)評(píng) 該題中，兩個(gè)小球受到的力是變力，要根據(jù)它們受力變化的規(guī)律，正確分析得出它們運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，然后才能做出正確的結(jié)論．題目的難度比較大．