Question

14．激流勇進是游樂園常有的機動游樂項目．其工作原理是由主動輪將游船沿較長的傾斜軌道提升至一定高度，然后船只從高處滑下，沖入水中，濺起很高且美麗的水花，整個過程刺激又有趣．其工作過程可以簡化為如下情景：如圖所示，左側傾角α=30°的軌道AB（其長L₁=30 m）上相互間隔安裝著主動輪，主動輪與游船間的動摩擦因數μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=；右側傾角β=53°的軌道CD（其長L₂=20 m）上相互間隔安裝著導向輪（不會提供動力），導向輪與游船間的動摩擦因數均為μ₂=$\frac{41}{72}$；左右兩側軌道通過一段平滑軌道BC（其長L₃=3 m）相連，兩相鄰主動輪（或導向輪）間的距離s₀=1 m．長為L0=2 m的游船上坐著兩個游客，總質量為180 kg，從左側軌道如圖所示的位置由靜止開始被主動輪帶動向上運動（主動輪的半徑r=0.2 m，恒定的角速度ω=10 rad/s），達恒定的速率后，一直以此速率運動到游船尾部剛好與右側軌道的上端C點平齊的位置，之后在導向輪上向下滑動．已知g=10 m/s²，sin 53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）游船從軌道左側運動到右側底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間；
（2）動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得加速和減速時的加速度，利用運動學公式求得時間；
（2）根據P=fv求得動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率

解答 接：（1）游船加速上升階段，設其加速度為a₁，有牛頓第二定律有：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入數據解得：${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$
從靜止達到共同速度所用時間為t₁，上移的距離為x₁，有速度時間公式可得：v=a₁t₁
主動輪的線速度為：v=ωr=0.2×10m/s=2m/s
聯立并代入數據解得：t₁=0.8s
${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}=0.8m$
勻速運動的位移為：x₂=L₁+L₃-x₃=（30+3-0.8）m=32.2m
勻速運動的時間為：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}s=16.1s$
游船在右側軌道上運價速運動，加速度為a₂，由牛頓第二定律有：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入數據解得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
加速運動的時間為t₃，游船在右側軌道上發(fā)生的位移為：
${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{3}^{2}$
聯立并代入數據解得：t₃=2.4s
所需總時間為：t=t₁+t₂+t₃=19.3s
（2）游船達到恒定速率前動力裝置增加的功率為：
P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）v
游船達到恒定速率后動力裝置增加的功率為：
P₂=f₂v=（mgsinα）v
動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船從軌道左側運動到右側底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間為19.3s；
（2）動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比為3：2

點評 本題主要考查了牛頓第二定律和運動學公式，關鍵是抓住運動過程的分析