Question

2．中國計劃在2030年左右實現(xiàn)長征九號運載火箭首飛，從而實現(xiàn)載人登月，假設宇航員記錄了登陸艙在月球表面附近做圓周運動的周期T，登陸艙在月球表面著陸后，用彈簧測力計稱量一個質(zhì)量為m的砝碼，讀數(shù)為F．已知引力常量為G．試求：
（1）月球的半徑R；
（2）月球的密度ρ；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）登陸艙在月球表面著陸后，根據(jù)彈簧測力計的讀數(shù) F=mg_月以及g_月=R$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$結(jié)合求月球的半徑R；
（2）登陸艙在月球表面做圓周運動，萬有引力等于向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，可求得月球的質(zhì)量，從而求出月球的密度ρ；
（3）月球的第一宇宙速度v是繞月球表面軌道運行的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)g_月=$\frac{{v}^{2}}{R}$求解．

解答 解：（1）根據(jù)F=mg_月及g_月=R$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得月球的半徑為：R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
（2）登陸艙在月球表面做圓周運動，萬有引力等于向心力，則得：G$\frac{{M}_{月}m}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
月球的密度為：ρ=$\frac{{M}_{月}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
解得月球的密度為：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（3）據(jù)g_月=$\frac{{v}^{2}}{R}$及R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$
解得月球的第一宇宙速度為：v=$\frac{FT}{2πm}$
答：（1）月球的半徑R為$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；
（2）月球的密度ρ為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$；
（3）月球的第一宇宙速度v為$\frac{FT}{2πm}$．

點評 對于衛(wèi)星問題，關鍵是要記住兩點：1、萬有引力提供向心力；2、在星球表面，重力等于萬有引力．