Question

如圖甲所示，一光滑絕緣板組成的直角支架MLK，水平板LK長為l=0.91m，距離水平地面高為h=2m，豎直板ML足夠長，兩板連接處有一小孔．水平板上方存在E₁=2N/C的勻強(qiáng)電場，電場方向與水平方向成θ角，指向右上方，θ為45°至90°的某一確定值．豎直線MQ左側(cè)有電場和磁場（甲圖中均未畫出），已知豎直方向的電場E₂分布在MQ左側(cè)整個空間，與紙面垂直的磁場只分布在NP與MQ兩平行線之間，區(qū)間水平寬度為d=1m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定磁場垂直紙面向里為正方向．水平板LK上表面右邊緣處有一質(zhì)量m=0.1kg、電荷量q=0.1C的帶負(fù)電小球，以初速度V₀=0.6m/s向左對準(zhǔn)小孔運(yùn)動．通過小孔后進(jìn)入左側(cè)空間恰好作勻速圓周運(yùn)動．小球剛進(jìn)入磁場時記作t=0時刻．假定小球與豎直板碰撞時間極短，且無動能損失，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球電量保持不變，g=10m/s²．求：

（1）電場強(qiáng)度E₂的大小和方向．

（2）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在磁場中運(yùn)動的時間最短為多少？

（3）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離？（計算結(jié)果可以用根號表示）．

Answer 1

（1）小球在MQ左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動，重力與電場力合力為零，即：qE₂=mg，

代入數(shù)據(jù)解得：E₂=10N/C，電場力豎直向上，小球帶負(fù)電，場強(qiáng)豎直向下；

（2）小球在平臺上向右做勻加速運(yùn)動，由動能定理得：

qE₁Lcosθ=mv²﹣mv₀²，45°≤θ≤90°，

代入數(shù)據(jù)解得：v_max=2m/s，

小球通過MN后的速度為：0.6m/s≤v≤2m/s，

小球在MQ右側(cè)磁場區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m，

解得：R=，

粒子做圓周運(yùn)動的半徑：0.15m≤R₁≤0.5m，0.6m≤R₂≤2m；

小球做圓周運(yùn)動的周期：T=，T₁==，T₂==2π，

小球進(jìn)入磁場后向左瞬時針方向的勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動時間：t₁==T₁，

然后與ML碰撞，碰撞后小球速度水平向左，然后沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)小球速度最大為2m/s時逆時針做圓周運(yùn)動的軌道半徑最大為2m，此時小球在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角θ最小，運(yùn)動時間最短，有：sinθ==，

得：θ=30°，

粒子的運(yùn)動時間為：t₂=T₂=，

粒子的最短運(yùn)動時間為：t=t₁+t₂=s；

（3）小球以最大速度離開磁場時落地點(diǎn)的水平距離最大，

v_x=v_最大cosθ=2cos30°=m/s，

v_y=v_最大sinθ=2sin30°=1m/s，

在豎直方向，小球所受重力與電場力合力為零，小球做勻速直線運(yùn)動，有：

h+2R_1最大﹣（R_2最大﹣R_2最大cosθ）=v_yt，

解得：t=（1+）s，

小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離為：x=v_xt=（3+）m；

答：（1）電場強(qiáng)度E₂的大小為10N/C，方向：豎直向下．

（2）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在磁場中運(yùn)動的時間最短為s；

（3）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離為（3+）m．