Question

13．如圖所示裝置可繞豎直軸O′O轉動，可視為質點的小球A于兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角θ=53°．已知小球的質量m=1kg，細線AC長L=3m．（重力加速度取g=10m/s²，sin53°=0.8）
（1）若裝置勻速轉動時，細線AB剛好被拉至成水平狀態(tài)，求此時的角速度ω₁．
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{65}{9}}$rad/s，求細線AB和AC上的張力大小T_AB、T_AC．

Answer 1

分析 （1）當細線AB剛好被拉直，則AB的拉力為零，靠AC的拉力和重力的合力提供向心力，結合牛頓第二定律求出此時的角速度．
（2）抓住小球豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，結合牛頓第二定律求出細線AB和AC的張力．

解答 解：（1）當細線AB剛好被拉直，則AB的拉力為零，靠AC的拉力和重力的合力提供向心力，
根據牛頓第二定律有：$mgtan37°=m{L}_{AB}{{ω}_{1}}^{2}$，
解得${ω}_{1}=\sqrt{\frac{gtan53°}{{L}_{AB}}}=\sqrt{\frac{10×\frac{4}{3}}{3×\frac{4}{5}}}=\frac{5\sqrt{2}}{3}rad/s$．
（2）若裝置勻速轉動的角速度ω₂=$\sqrt{\frac{65}{9}}$rad/s，
豎直方向上有：T_ACcos53°=mg，
水平方向上有：${T}_{AC}sin53°+{T}_{AB}=m{L}_{AB}{{ω}_{2}}^{2}$，
代入數據解得T_AC=$\frac{50}{3}$N，T_AB=4N．
答：（1）此時的角速度為$\frac{5\sqrt{2}}{3}$rad/s．
（2）細線AB和AC上的張力大小T_AB、T_AC分別為4N、$\frac{50}{3}$N．

點評 解決本題的關鍵知道小球向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結合牛頓第二定律進行求解．