Question

4．如圖所示，斜面軌道AB與水平面之間的夾角θ=53°，BD為半徑R=4m的圓弧形軌道，且B點(diǎn)與D點(diǎn)在同一水平面上，在B點(diǎn)，斜面軌道AB與圓弧形軌道BD相切，整個(gè)軌道處于豎直平面內(nèi)且處處光滑，在A點(diǎn)處有一質(zhì)量m=1kg的小球由靜止滑下，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)后從D點(diǎn)斜拋出去，最后落在地面上的S點(diǎn)時(shí)的速度大小vS=8m/s，已知A點(diǎn)距地面的高度H=10m，B點(diǎn)距地面的高度h=5m，設(shè)以MDN為分界線，其左邊為一阻力場區(qū)域，右邊為真空區(qū)域，g取10m/s²，cos53°=0.6，求：
（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為多大？
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道最低處C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（3）求小球從D點(diǎn)至S點(diǎn)的過程中阻力f所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球從A到B的過程中只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒求解小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度．
（2）根據(jù)機(jī)械能定律求出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度．由牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的支持力．
（3）小球從D點(diǎn)至S點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解阻力f所做的功．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小為v_B，對(duì)小球從A到B的過程，由機(jī)械能守恒得：
$mg（H-h）=\frac{1}{2}mv_B^2$
解得：v_B=$\sqrt{2g（H-h）}$=$\sqrt{2×10（10-5）}$m/s=10m/s．
（2）設(shè)小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度為v_C，由機(jī)械能守恒得：$mgR（1-cos{53^0}）+\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
軌道對(duì)小球的支持力N，根據(jù)牛頓第二定律可得：N-mg=$m\frac{v_C^2}{R}$
由以上兩式得，N=1.8mg+$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=1.8×1×10N+$1×\frac{1{0}^{2}}{4}N$=43N．
則小球?qū)�軌道的壓力為N′=N=43N，則
（3）設(shè)小球受到的阻力為f，到達(dá)S點(diǎn)的速度為v_S，在此過程中阻力所做的功為W，易知v_D=v_B，
由動(dòng)能定理可得：$mgh+W=\frac{1}{2}mv_S^2-\frac{1}{2}mv_D^2$
代入解得W=-68J
答：
（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)的速度為10m/s．
（2）小球經(jīng)過圓弧軌道最低處C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力43N．
（3）小球從D點(diǎn)至S點(diǎn)的過程中，阻力f所做的功為-68J．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律、動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，常見的陳題．小球從D點(diǎn)拋出后，阻力是變力，不能根據(jù)功的計(jì)算公式求阻力做功，運(yùn)用動(dòng)能定理求變力做功是常用的方法．