Question

9．宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用．設每個星體的質量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，已知這四顆星均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，引力常量為G，試求：
（1）星體做勻速圓周運動的軌道半徑r；
（2）若觀測到星體的半徑為R，則該星體對自身表面產(chǎn)生的重力加速度大�。ú挥嬈渌�星球的影響）；
（3）求星體做勻速圓周運動的公轉周期T．

Answer 1

分析 （1）星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，根據(jù)幾何關系求出星體勻速圓周運動的軌道半徑
（2）根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．
（3）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律求星體做勻速圓周運動的公轉周期

解答 解：（1）由星體均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動可知，星體做勻速圓周運動的軌道半徑$r=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
（2）由萬有引力的定律可知$G\frac{mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g′$
則星體表面的重力加速度$g′=G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$
（3）星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：
${F}_{有效1}^{\;}=G\frac{mm}{{a}_{\;}^{2}}•cos45°$
${F}_{有效2}^{\;}=\frac{Gmm}{（\sqrt{2}a）_{\;}^{2}}$
${F}_{向}^{\;}=2•{F}_{有1}^{\;}+{F}_{有2}^{\;}$
${F}_{向}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得周期$T=2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
答：（1）星體做勻速圓周運動的軌道半徑r為$\frac{\sqrt{2}}{2}a$；
（2）若觀測到星體的半徑為R，則該星體對自身表面產(chǎn)生的重力加速度大小為$G\frac{m}{{R}_{\;}^{2}}$；
（3）求星體做勻速圓周運動的公轉周期T為$2πa\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．