Question

2．如圖所示，水平放置的平行金屬板M、N間距為$\sqrt{3}$R，板長(zhǎng)為2R，其中心線為O₁O₂．左側(cè)有一以O(shè)為圓心、半徑為R的虛線圓，O、O₁、O₂在同一水平線上，OO₁=R．虛線圓內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外（圖中未畫出）．平行金屬板右側(cè)距兩板右端2R處有一豎直熒光屏．虛線圓周上有點(diǎn)P，PO垂直于O₁O₂．位于P點(diǎn)的粒子放射源，在紙面內(nèi)向各個(gè)方向磁場(chǎng)釋放出速率為v₀、電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑剛好也是R．若在M、N兩板間加上某一恒定電壓，發(fā)現(xiàn)屏上只有一個(gè)亮點(diǎn)Q（圖中未畫出）．不計(jì)平行金屬板兩端的邊緣效應(yīng)及粒子的重力．
（1）求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）推證所有粒子出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向均與O₁O₂平行；
（3）求粒子從P到Q所用的時(shí)間；
（4）求兩板間恒定電壓U的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由幾何知識(shí)得到軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)$\frac{1}{4}$周期時(shí)間，求得周期，即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）粒子在平行板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與動(dòng)能定理可以求出速度與L間的關(guān)系．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）任意做出粒子的一個(gè)國(guó)際圓O′，交磁場(chǎng)圓與H，如圖1，因兩個(gè)圓的半徑相等，所以POHO′S是菱形，HO′∥PO，粒子的速度與HO′垂直，也就與O₁O₂平行．
（3）熒光屏上只有一個(gè)亮點(diǎn)，說(shuō)明打在屏上的兩種必須緊靠左側(cè)上邊緣射入，從另一個(gè)極板的邊緣射出電場(chǎng)．
①若U_M＞U_N，粒子的軌跡如圖2，由幾何關(guān)系得：Rcosα=0.5R
得：α=30°
∠PO′S=150°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{150°}{360°}T=\frac{5πR}{6{v}_{0}}$
粒子從出磁場(chǎng)到進(jìn)入磁場(chǎng)的距離：
x=R（1-sin30°）=0.5R
使用的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{x}{{v}_{0}}=\frac{R}{2{v}_{0}}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{2R}{{v}_{0}}$
粒子從出電場(chǎng)到屏的時(shí)間：${t}_{4}=\frac{2R}{{v}_{0}}$
總時(shí)間：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=\frac{5πr}{6{v}_{0}}+\frac{R}{2{v}_{0}}+\frac{2R}{{v}_{0}}+\frac{2R}{{v}_{0}}=\frac{5π+27}{6{v}_{0}}•R$
②若U_M＜U_N粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖3，由幾何關(guān)系得：∠PO′S=30°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}′=\frac{30°}{360°}•T=\frac{πR}{6{v}_{0}}$
粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：$t′={t}_{1}′+{t}_{2}+{t}_{3}+{t}_{4}=\frac{πr}{6{v}_{0}}+\frac{R}{2{v}_{0}}+\frac{2R}{{v}_{0}}+\frac{2R}{{v}_{0}}=\frac{π+27}{6{v}_{0}}•R$
（4）粒子在兩板之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：$\sqrt{3}R=\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
又：qE=ma，$E=\frac{U}{\sqrt{3}R}$
聯(lián)立解得：$U=\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$
答：（1）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{qR}$；
（2）證明見前；
（3）粒子從P到Q所用的時(shí)間是$\frac{5π+27}{6{v}_{0}}•R$或$\frac{π+27}{6{v}_{0}}•R$；
（4）兩板間恒定電壓U的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑是關(guān)鍵，在電場(chǎng)中分析兩段位移的關(guān)系是關(guān)鍵．