Question

如圖所示，在xoy坐標系中，-

a

2

≤x≤

a

2

，0≤y≤a的區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．大量質(zhì)量為m、電量為+q的粒子（重力不計），在xoy平面內(nèi)由O點沿與x軸成30°，以不同的速率射入，求：
（1）在磁場中運動時間最長的粒子的速率及運動時間；
（2）若在Y＜0區(qū)域有沿Y軸負方向的勻強電場，電場強度為E，求在磁場中運動最長時間而速度最大的粒子達Y軸的總時間（從0點開始）及坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子的周期的公式T=

2πm

qB

可知，所有的粒子的運動的周期都是相同的，所以經(jīng)過的圓心角最大的粒子的運動的時間最長；
（2）根據(jù)粒子的運動的軌跡可以判斷粒子的射出磁場時的坐標，粒子進入電場后，沿x軸的方向做的是勻速直線運動，從而可以求得粒子到達y軸的運動的時間，粒子沿y軸的方向做的是勻加速直線運動，由勻加速直線運動的規(guī)律可以求得粒子在y軸上運動的位移的大�。�

解答：解：（1）從x軸負方向出磁場的時間最長，而與左邊界相切的對應最大速度為υ_m，圓運動半徑R，
由幾何關系得，R+Rsin30°=

a

2

，
解得 R=

a

3

，

根據(jù)qvB=m

v2

R

解得 vm=

qBR

m

=

qBa

3m

，v≤vm=

qBa

3m

根據(jù)T=

2πR

v

解得 T=

2πm

qB

，tm=

5 3 π

2π

T=

5πm

3qB

（2）相切而時間最長的從x軸負半軸傳出磁場坐標[-

a

3

，0]，
粒子在電場時間 t0=

a 3

vmcos30°

=

2 3

3qB

粒子的運動的總的時間為 t=tm+t0=

5πm

3qB

+

2 3 m

3qB

=

(5π+2 3 )m

3qB

到達y軸時的距離為 y=vmsin30°t0+

1

2

qE

m

t02=

3 a

9

+

2mE

3qB2

．

點評：電荷在勻強磁場中做勻速圓周運動，關鍵是畫出軌跡，由幾何知識求出半徑．定圓心角，求時間．