Question

4．如圖所示，生產(chǎn)車(chē)間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v₀，小工件離開(kāi)甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大，重力加速度為g，則（　�。�

• A． 若乙的速度為 v₀，工件在乙上側(cè)向（ 垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向）滑過(guò)的距離s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2gμ}$
• B． 若乙的速度為 2v₀，工件從滑上乙到在乙上側(cè)向滑動(dòng)停止所用的時(shí)間不變
• C． 若乙的速度為 2v₀，工件在乙上剛停止側(cè)向滑動(dòng)時(shí)的速度大小v=2v₀
• D． 保持乙的速度 2v₀ 不變，當(dāng)工件在乙上剛停止滑動(dòng)時(shí)，下一只工件恰好傳到乙上，如此反復(fù)．若每個(gè)工件的質(zhì)量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計(jì)，驅(qū)動(dòng)乙的電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率$\overline{P}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$mgμv₀

Answer 1

分析 工件滑動(dòng)傳送帶乙，沿傳送帶方向相對(duì)傳送帶向后滑，垂直傳送帶方向相對(duì)傳送帶向前滑，可知摩擦力與側(cè)向的夾角為45度，根據(jù)牛頓第二定律得出側(cè)向的加速度，結(jié)合速度位移公式求出側(cè)向上滑過(guò)的距離．
結(jié)合縱向加速度與側(cè)向加速度的比值與兩個(gè)方向上速度的變化量比值相同，得出摩擦力的方向保持不變，從而得出相對(duì)傳送帶側(cè)向速度為零，則相對(duì)傳送帶沿傳送帶方向速度為零，從而得出此時(shí)的速度大小．
結(jié)合工件在側(cè)向和沿乙方向上的加速度，結(jié)合速度位移公式得出在兩個(gè)方向上的位移，從而得出工件相對(duì)乙的位移，根據(jù)功能關(guān)系，求出電動(dòng)機(jī)做功的大小，結(jié)合工件滑動(dòng)的時(shí)間求出平均功率的大�。�

解答 解：A、根據(jù)牛頓第二定律，μmg=ma，得a=μg，摩擦力與側(cè)向的夾角為45°，側(cè)向加速度大小為${a}_{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}μg$，
根據(jù)$-2{a}_{x}s=0{-v}_{0}^{2}$，解得：$s=\frac{{\sqrt{2}v}_{0}^{2}}{2μg}$，故A錯(cuò)誤；
B、沿傳送帶乙方向的加速度${a}_{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}μg$，達(dá)到傳送帶乙的速度所需時(shí)間t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{y}}$，與傳送帶乙的速度有關(guān)，故時(shí)間發(fā)生變化，故B錯(cuò)誤；
C、設(shè)t=0時(shí)刻摩擦力與側(cè)向的夾角為θ，側(cè)向、縱向加速度大小分別為a_x、a_y，
則$\frac{{a}_{y}}{{a}_{x}}=tanθ$，
很小的△t時(shí)間內(nèi)，側(cè)向、縱向的速度增量△v_x=a_x△t，△v_y=a_y△t，
解得$\frac{△{v}_{y}}{△{v}_{x}}=tanθ$．
且由題意知，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$，則$\frac{v{′}_{y}}{v{′}_{x}}=\frac{{v}_{y}-△{v}_{y}}{{v}_{x}-△{v}_{x}}=tanθ$，
所以摩擦力方向保持不變，
則當(dāng)v_x′=0時(shí)，v_y′=0，即v=2v₀．故C正確
D、工件在乙上滑動(dòng)時(shí)側(cè)向位移為x，沿乙方向的位移為y，
由題意知，a_x=μgcosθ，a_y=μgsinθ，
在側(cè)向上$-2{a}_{x}s=0{-v}_{0}^{2}$，在縱向上，$2{a}_{y}y=（2{v}_{0}）^{2}-0$
工件滑動(dòng)時(shí)間$t=\frac{2{v}_{0}}{{a}_{y}}$，乙前進(jìn)的距離y₁=2v₀t．
工件相對(duì)乙的位移L=$\sqrt{{x}^{2}+（{y}_{1}-y）^{2}}$，
則系統(tǒng)摩擦生熱Q=μmgL，
依據(jù)功能關(guān)系，則電動(dòng)機(jī)做功：$W=\frac{1}{2}m（2{v}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}+Q$
由$\overline{P}=\frac{W}{t}$，解得$\overline{P}=\frac{4\sqrt{5}}{5}mgμ{v}_{0}$．故D正確
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 本題考查工件在傳送帶上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵將工件的運(yùn)動(dòng)分解為沿傳送帶方向和垂直傳送帶方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，難度較大．