Question

14．如圖所示空間分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個足夠長的區(qū)域，各邊界面相互平行．其中Ⅰ、Ⅱ區(qū)域存在勻強電場：E₁=1.0×10⁴V/m，方向垂直邊界面豎直向上；E_Ⅱ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×10⁵V/m，方向水平向右，Ⅲ區(qū)域磁感應強度B=5.0T，方向垂直紙面向里．三個區(qū)域寬度分別為d₁=5.0m、d₂=4.0m、d₃=10m．一質量m=1.0×10^-8kg、電荷量q=1.6×10^-6C的粒子從O點由靜止釋放，粒子重力忽略不計．求：
（1）粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度
（2）粒子從區(qū)域Ⅱ進入?yún)^(qū)域Ⅲ時的速度方向與邊界面的夾角
（3）粒子在Ⅲ區(qū)域中作圓周運動的周期和離開Ⅲ區(qū)域時的速度方向與邊界面的夾角．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場Ⅰ中加速，由動能定理列方程求粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度大��；
（2）粒子在區(qū)域Ⅱ中豎直方向勻速直線運動，水平方向勻加速直線運動，即粒子做類平拋運動，由類平拋運動規(guī)律求解；
（3）粒子在Ⅲ區(qū)域做勻速圓周運動，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$．畫出運動軌跡，然后由幾何關系求出離開Ⅲ區(qū)域時的速度方向與邊界面的夾角．

解答 解：（1）由動能定理得：$\frac{1}{2}$mv₁²=qE₁d₁ …①
得：v₁=4×10³ m/s…②
（2）粒子在區(qū)域Ⅱ做類平拋運動．以水平向右為y軸，豎直向上為x軸．設粒子進入?yún)^(qū)域Ⅲ時速度與邊界的夾角為θ，則有：
 tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$…③
又 v_x=v₁，v_y=at…④
粒子的加速度為：a=$\frac{q{E}_{2}}{m}$…⑤
運動時間為：t=$\frac{ndlji0d_{2}}{{v}_{1}}$
把數(shù)值代入得：θ=30°…⑥
（3）粒子在磁場中運動的周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{π}{4}$×10^-2 s      
粒子進入磁場時的速度為：v₂=2v₁…⑦
粒子在磁場中運動的半徑為：R=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=10m=d₃
粒子進入磁場區(qū)域運動軌跡如圖所示，有：
R=$\frac{mv}{qB}$=10 m   
由幾何關系得：
AB=5$\sqrt{3}$m，
CD=（10-5$\sqrt{3}$）m
則有：cosβ=$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$…⑧
所以粒子離開磁場時速度方向與邊界的夾角為：
β=arccos$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$
答：（1）粒子離開區(qū)域Ⅰ時的速度是4×10³ m/s．
（2）粒子從區(qū)域Ⅱ進入?yún)^(qū)域Ⅲ時的速度方向與邊界面的夾角是30°．
（3）粒子在Ⅲ區(qū)域中作圓周運動的周期是$\frac{π}{4}$×10^-2 s，離開Ⅲ區(qū)域時的速度方向與邊界面的夾角是arccos$\frac{{10-5\sqrt{3}}}{10}$．

點評 粒子在電場中的偏轉情況，一定注意化曲為直，即將運動分解為平行于電場的方向與垂直于電場的方向；粒子在磁場中的運動一定要注意找出圓心和半徑，進而能正確的應用好幾何關系，則可順利求解．