Question

有一傾角為θ的斜面，其底端固定一檔板，另有三個木塊A、B、C，它們的質(zhì)量分別為m_A=m_B=m，m_C=3m，它們與斜面間的動摩擦因數(shù)都相同．其中木塊A和一輕彈簧連接，放于斜面上，并通過輕彈簧與檔板M相連，如圖所示．開始時，木塊A靜止在P點彈簧處于原長，木塊B在Q點以初速度U₀沿斜面向下運動，P、Q間的距離為l，已知木塊B在下滑過程中做勻速直線運動，與木塊A碰撞后立刻一起沿斜面向下運動，但不粘連，它們到達一個最低點后向上運動，木塊B向上運動恰好能回到Q點．現(xiàn)將木塊C從Q點以初速度

3

2

v₀沿斜面向下運動，木塊A仍靜止于P點，經(jīng)歷同樣的過程，最后木塊C停在斜面上的R點（圖中未畫出）．求：
（1）A、B一起開始壓縮彈簧時速度u₁；
（2）A、B壓縮彈簧的最大長度；
（3）P、R間的距離l’的大小．

Answer 1

分析：（1）A、B系統(tǒng)在碰撞過程，系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出A、B一起壓縮彈簧時的速度．
（2）對兩木塊從開始壓縮彈簧到彈簧恢復原長的過程運用動能定理，克服摩擦力做功的路程等于最大長度的2倍，再對木塊B從P到Q運用動能定理，聯(lián)立解出彈簧壓縮的最大長度．
（3）運用動量守恒定律求出木塊C與A碰撞后的速度，得出木塊B和A壓縮彈簧時的初動能與木塊C與A壓縮彈簧時的初動能相等，根據(jù)能量守恒知，彈簧最大的壓縮量大小相等，分別對木塊C與A從壓縮彈簧返回彈簧恢復原長的過程運用動能定理，以及對木塊C從P點到R點的過程運用動能定理，聯(lián)立解出PR間的距離．

解答：解：（1）木塊B下滑做勻速運動，有：mgsin_θ=μmgcosθ
B和A碰撞后，設速度為v₁，根據(jù)動量守恒定律得：mv₀=2mv₁
解得：v1=

v0

2

（2）設兩木塊向下壓縮彈簧的最大長度為x，兩木塊被彈簧彈回到P點時的速度為v₂，根據(jù)動能定理得：-μ2mgcosθ2x=

1

2

2m

v

2 2

-

1

2

2m

v

2 1

兩木塊在P點處分開后，木塊B上滑到Q點的過程中，根據(jù)動能定理得：-(mgsinθ+μmgcosθ)l=0-

1

2

m

v

2 2

解得：x=

v 2 0

16gsinθ

-l
（3）木塊C與A碰撞后速度為v₁′，根據(jù)動量守恒定律得：3m

2

3

v0=4mv1′
解得：v1′=

2

4

v0
設木塊C與A壓縮的最大長度為x′，兩木塊被彈簧彈回到P點時的速度為v₂′，根據(jù)動能定理得：-μ4mgcosθ?2x′=

1

2

4mv2′2-

1

2

4mv1′2  
木塊C與A在P點處分開后，木塊C上滑到R的過程中，根據(jù)動能定理得：
-（3mgsinθ+μ3mgcosθ）l′=0-

1

2

3mv2′2
在木塊壓縮彈簧的過程中，重力對木塊所做的功與摩擦力對木塊所做的功大小相等，因此，木塊B和A壓縮彈簧的初動能：
Ek1=

1

2

2mv12=

1

4

mv02
木塊C與A壓縮彈簧的初動能為：Ek2=

1

2

4mv1′2=

1

4

mv02
即：E_k1=E_k2
因此，彈簧先后兩次的最大壓縮量相等，即x=x′，綜上可得：l′=l-

v02

32gsinθ

．
答：（1）A、B一起開始壓縮彈簧時速度為

v0

2

．
（2）A、B壓縮彈簧的最大長度x=

v 2 0

16gsinθ

-l．
（3）P、R間的距離l′=l-

v02

32gsinθ

．

點評：解決本題的關鍵理清物體的運動過程，合理地選擇研究對象和研究的過程，結合動量守恒定律和動能定理進行求解．