Question

20．中國自主研制的首艘貨運飛船“天舟一號”于2017年4月20日19時41分在海南文昌航天發(fā)射場發(fā)射升空．并于2017年4月22日12時33分與“天宮二號”成功在浩渺太空對接，之后經(jīng)過發(fā)動機調(diào)整，組合體在393公里高空的軌道繞地球做勻速圓周運動．已知“天舟一號”的質(zhì)量約為“天宮二號”質(zhì)量的1.5倍，地球半徑為R=6400km，結(jié)合以上信息，求（計算結(jié)果均保留兩位小數(shù)）
（1）“天舟一號”與“天宮二號”在對接軌道處的重力加速度與地球表面重力加速度的比約為多少？
（2）“天舟一號”與“天宮二號”組合體運行速度大小與第一宇宙速度的比約為多少？

Answer 1

分析 （1）在地球表面和對接處分別根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律求解；
（2）由萬有引力定律提供向心力結(jié)合向心力計算公式和牛頓第二定律列方程求解．

解答 解：（1）設地球表面的重力加速度為g，對接軌道處的重力加速度為g₀，h=393km=3.93×10⁵m，“天宮二號”的質(zhì)量為m，地球質(zhì)量為M，
由萬有引力定律和牛頓第二定律得$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$；
$\frac{GM（m+1.5m）}{{（R+h）}^{2}}=（m+1.5m）{g}_{0}$
由以上兩式得：$\frac{{g}_{0}}{g}=\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$
代入數(shù)值得$\frac{{g}_{0}}{g}=0.89$；
（2）設組合體的運行速度大小為v₁，第一宇宙速度為v₂，由萬有引力定律和牛頓第二定律得
$\frac{GM（m+1.5m）}{{（R+h）}^{2}}=（m+1.5m）\frac{{v}_{1}^{2}}{R+h}$，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
由以上兩式得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{R}{R+h}}$
代入數(shù)值得$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=0.97$．
答：（1）“天舟一號”與“天宮二號”在對接軌道處的重力加速度與地球表面重力加速度的比約為0.89；
（2）“天舟一號”與“天宮二號”組合體運行速度大小與第一宇宙速度的比約為0.97．

點評 本題主要是考查了萬有引力定律及其應用；解答此類題目一般要把握兩條線：一是在星球表面，忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力近似等于重力；二是根據(jù)萬有引力提供向心力列方程進行解答．