Question

如圖所示，兩金屬板正對并水平放置，分別與平行金屬導軌連接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域有垂直導軌所在平面的勻強磁場．金屬桿ab與導軌垂直且接觸良好，并一直向右勻速運動．某時刻ab進入Ⅰ區(qū)域，同時一帶正電小球從O點沿板間中軸線水平射入兩板間．a(chǎn)b在Ⅰ區(qū)域運動時，小球勻速運動；ab從Ⅲ區(qū)域右邊離開磁場時，小球恰好從金屬板的邊緣離開．已知板間距為4d，導軌間距為L，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的磁感應強度大小相等、寬度均為d．帶電小球質(zhì)量為m，電荷量為q，ab運動的速度為v₀，重力加速度為g．求：
（1）磁感應強度的大小；
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運動時，小球的加速度大小；
（3）要使小球恰好從金屬板的邊緣離開，ab運動的速度v₀要滿足什么條件．

Answer 1

（1）ab在磁場區(qū)域運動時，產(chǎn)生的感應電動勢大小為：ε=BLv₀…①
金屬板間產(chǎn)生的場強大小為：E=

ε

4d

…②
ab在Ⅰ磁場區(qū)域運動時，帶電小球勻速運動，有mg=qE…③
聯(lián)立①②③得：B=

4dmg

qL v  0

…④
（2）ab在Ⅱ磁場區(qū)域運動時，設小球的加速度a，依題意，有qE+mg=ma…⑤
聯(lián)立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依題意，ab分別在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁場區(qū)域運動時，小球在電場中分別做勻速、類平拋和勻速運動，設發(fā)生的豎直分位移分別為S_Ⅰ、S_Ⅱ、S_Ⅲ；ab進入Ⅲ磁場區(qū)域時，小球的運動速度為v_Ⅲ．則：
S_Ⅰ=0   …⑦
S_Ⅱ=

1

2

?2g?(

d

v0

)2…⑧
S_Ⅲ=v_Ⅲ?

d

v0

…⑨v_Ⅲ=2g?

d

v0

…⑩
又：S_Ⅰ+S_Ⅱ+S_Ⅲ=2d
聯(lián)立可得：v0=

3gd 2

．
答：（1）磁感應強度的大小為B=

4dmg

qL v  0

．
（2）ab在Ⅱ區(qū)域運動時，小球的加速度大小為2g．
（3）要使小球恰好從金屬板的邊緣離開，ab運動的速度v₀要滿足v0=

3gd 2

．