Question

2．如圖，在粗糙水平臺階上靜止放置一質(zhì)量m=0.5kg的小物塊，它與水平臺階表面的動摩擦因數(shù)μ=0.5，且與臺階邊緣O點(diǎn)的距離s=5m．在臺階右側(cè)固定了一個(gè)$\frac{1}{4}$圓弧擋板，圓弧半徑R=1m，圓弧的圓心也在O點(diǎn)．今以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．現(xiàn)用F=5N的水平恒力拉動小物塊，一段時(shí)間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板．
（1）若小物塊恰能擊中擋板上的P點(diǎn)（OP與水平方向夾角為37°），求其離開O點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）為使小物塊擊中擋板，求拉力F作用的最短時(shí)間；
（3）改變拉力F的作用時(shí)間，使小物塊擊中擋板的不同位置，求擊中擋板時(shí)小物塊動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊離開P點(diǎn)做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋知識求解其離開O點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）小物塊能擊中擋板的臨界條件是能到達(dá)O點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動學(xué)關(guān)系分析求解力F的作用最短時(shí)間；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動和擊中擋板的軌道公式求解小物塊擊中擋板時(shí)的最小動能．

解答 解：（1）小物塊從O到P，做平拋運(yùn)動
水平方向：Rcos37°=v₀t       
豎直方向：$Rsin37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由以上兩式解得：${v}_{0}=\frac{Rcos37°}{\sqrt{\frac{2Rsin37°}{g}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$
（2）為使小物塊擊中檔板，小物塊必須能運(yùn)動到O點(diǎn)，由動能定理得：
Fx-μmgS=△E_k=0
解得：x=2.5m
由牛頓第二定律得：F-μmg=ma
解得：力F作用時(shí)的加速度a=5m/s²
由運(yùn)動學(xué)公式得：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=1s
（3）設(shè)小物塊擊中擋板的任意點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由機(jī)械能守恒得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgy$
又又擊中擋板滿足：x²+y²=R²
化簡得：${E}_{k}=\frac{mg{R}^{2}}{4y}+\frac{3mgy}{4}$，
由數(shù)學(xué)方法解得：E_kmin=$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$
答：（1）若小物塊恰能擊中擋板上的P點(diǎn)（OP與水平方向夾角為37°），其離開O點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\frac{4\sqrt{3}}{3}m/s$；
（2）為使小物塊擊中擋板，拉力F作用的最短時(shí)間為1s；
（3）改變拉力F的作用時(shí)間，使小物塊擊中擋板的不同位置，擊中擋板時(shí)小物塊動能的最小值為$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$．

點(diǎn)評 本題是動力學(xué)、平拋運(yùn)動的綜合題，解決問題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)動力學(xué)基礎(chǔ)知識和平拋運(yùn)動知識，在第三問中要求較好的數(shù)學(xué)功底．