Question

3．如圖所示同心半圓磁場(chǎng)，內(nèi)圓半徑為r，外圓半徑為R．磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度為B．AB為內(nèi)圓直徑．一個(gè)粒子質(zhì)量為m，電量為+q，從A點(diǎn)射出，速度指向O點(diǎn)．最終粒子恰好到B點(diǎn)．
（1）如果粒子能以最短時(shí)間到B，磁場(chǎng)外圓半徑至少多大？
（2）滿足第一問的條件下，粒子初速滿足什么條件可使粒子到B點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可以求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的大小，進(jìn)而求得外側(cè)圓的大小；
（2）畫出運(yùn)動(dòng)的可能的軌跡，由幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）由于兩個(gè)磁場(chǎng)的大小相等，所以有半徑公式：$r=\frac{mv}{qB}$可知，粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是相等的．
又由于粒子運(yùn)動(dòng)受到的洛倫茲力與軌跡總是垂直，所以可知粒子要到達(dá)B點(diǎn)，至少要在內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)兩段圓弧，在外側(cè)的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧，其中軌跡如圖1．
若內(nèi)側(cè)與外側(cè)各有兩段圓弧，軌跡如圖2；

若內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)三段圓弧，在外側(cè)的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)兩段圓弧，等等，依此類推；
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，與粒子運(yùn)動(dòng)的速度無(wú)關(guān)，所以當(dāng)粒子在內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)兩段圓弧，在外側(cè)的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段圓弧時(shí)，粒子偏轉(zhuǎn)的角度最小，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，由圖1可知，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：${r}_{1}=\overline{AC}=\overline{CF}=\overline{CD}$，∠AOC=∠COF=∠FOD=30°
所以：$\frac{{r}_{1}}{r}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\overline{OD}=\overline{OC}=\frac{r}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
所以，如果粒子能以最短時(shí)間到B，磁場(chǎng)外圓半徑至少為：$R=\overline{OD}+{r}_{1}=\sqrt{3}r$
（2）同理可知，若內(nèi)側(cè)與外側(cè)各有兩段圓弧，$\frac{{r}_{2}}{r}=tan\frac{90°}{4}$
若若內(nèi)側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)三段圓弧，在外側(cè)的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)兩段圓弧，則：$\frac{{r}_{3}}{r}=tan\frac{90°}{5}$
若內(nèi)外側(cè)共有n段圓弧，則：$\frac{{r}_{n}}{r}=tan\frac{90°}{n}$
結(jié)合公式$r=\frac{mv}{qB}$得：$\frac{m{v}_{n}}{qB}=r•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）
所以：${v}_{n}=\frac{qBr}{m}•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）
答：（1）如果粒子能以最短時(shí)間到B，磁場(chǎng)外圓半徑至少$\sqrt{3}$r；
（2）滿足第一問的條件下，粒子初速滿足條件：${v}_{n}=\frac{qBr}{m}•tan\frac{90°}{n}$，（n=3，4，5…）可使粒子到B點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．