Question

14．如圖所示，在光滑的水平面上有一輛小車處于靜止?fàn)顟B(tài)，小車的上表面左端AB部分是水平的軌道，右側(cè)BC是一段光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，圓弧的底端恰好與AB段相切，小車質(zhì)量M=8kg，現(xiàn)有一質(zhì)量m=2kg的物塊，以初速度v₀=10m/s從A點沖上小車，并沿BC上滑，然后恰好沿軌道返回到A點，已知物塊與小車上表面AB部分的動摩擦因數(shù)μ=0.2，求：
（1）小物塊返回到A點的速度大�。�
（2）小車上表面AB部分的長度l；
（3）要使物塊不從C點沖出，$\frac{1}{4}$圓弧BC的半徑R的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊恰好返回到A點，所以小物塊返回到A點時和小車的速度相同，結(jié)合動量守恒定律求出小物塊返回到A點的速度大�。�
（2）根據(jù)能量守恒定律求出小車上表面AB部分的長度l．
（3）當(dāng)圓弧半徑最小時，小物塊在圓弧BC上運動到最高點C時，水平方向上的速度與小車相同，豎直方向上的速度為零，結(jié)合動量守恒定律和能量守恒定律求出$\frac{1}{4}$圓弧BC的半徑R的最小值．

解答 解：（1）小物塊和小車組成的系統(tǒng)在水平方向上的動量是守恒的，小物塊恰好返回到A點，所以小物塊返回到A點時和小車的速度相同，設(shè)它們的共同速度為v，則有：
mv₀=（m+M）v，
代入數(shù)據(jù)解得v=2m/s．
（2）小物塊返回到A點時，小物塊的動能減少，小車的動能增加，系統(tǒng)的內(nèi)能增加，由能量守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}=μmg•2l$，
代入數(shù)據(jù)解得l=10m．
（3）小物塊在圓弧BC上運動到最高點C時，水平方向上的速度與小車相同，豎直方向上的速度為零，此時小物塊剛好不沖出小車，圓弧半徑最小，由于小物塊和小車組成的系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，規(guī)定向右為正方向，有：
mv₀=（m+M）v′，
代入數(shù)據(jù)解得v′=2m/s．
小物塊沿圓弧BC上運動到最高點C的過程中，小物塊的動能減少，重力勢能增加，小車的動能增加，由能量守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$=μmgl+mgR_min，
代入數(shù)據(jù)解得R_min=2m．
答：（1）小物塊返回到A點的速度大小為2m/s；
（2）小車上表面AB部分的長度l為10m；
（3）要使物塊不從C點沖出，$\frac{1}{4}$圓弧BC的半徑R的最小值為2m．

點評 本題是系統(tǒng)的水平方向動量守恒和能量守恒的問題，要注意系統(tǒng)的總動量并不守恒，但是在水平方向上的動量是守恒的，抓住臨界狀態(tài)，列方程求解，難度中等．