Question

18．一列汽車車隊(duì)以V₁=10m/s的速度勻速行駛，相鄰車間距為25m，后面有一輛摩托車以V₂=20m/s的速度同向行駛，當(dāng)它與車隊(duì)最后一輛車相距S₀=25m時(shí)剎車，以a=0.5m/s²的加速度做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，摩托車從車隊(duì)旁邊行駛而過，設(shè)車隊(duì)車輛數(shù)n足夠多，問：
（1）摩托車從開始剎車經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間能第一次追上汽車車隊(duì)的最后一輛車？
（2）摩托車最多與幾輛汽車相遇？摩托車與車隊(duì)中汽車共相遇幾次？
（3）摩托車從趕上車隊(duì)到離開車隊(duì)，共經(jīng)歷多少時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式和勻速直線運(yùn)動(dòng)位移公式分別表示出摩托車的位移和最后一輛汽車的位移，
結(jié)合二者位移關(guān)系求出摩托車開始剎車追上最后一輛汽車的時(shí)間；
（2）由速度公式求出當(dāng)摩托車速度減為10m/s時(shí)所用的時(shí)間，由速度位移公式分別求出此過程汽車和摩托車的位移，
進(jìn)而得到摩托車與最后一輛汽車的距離，又知道相鄰車間距，進(jìn)而求出摩托車相遇的汽車數(shù)以及摩托車與車隊(duì)中汽車共相遇的次數(shù)；
（3）由（1）可知摩托車追上汽車車隊(duì)最后一輛車所用的時(shí)間和汽車車隊(duì)最后一輛車超過摩托車的所用的時(shí)間，
二者之差即為摩托車從趕上車隊(duì)到離開車隊(duì)共經(jīng)歷的時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)摩托車從開始剎車到追上汽車車隊(duì)的最后一輛汽車所用的時(shí)間為t，
摩托車的位移：x_摩=v₂t-$\frac{1}{2}$at²，
最后一輛汽車的位移：x_汽=v₁t，
則兩車位移關(guān)系滿足：x_摩=x_汽+s₀，
即：v₂t-$\frac{1}{2}$at²=v₁t+s₀，
代入數(shù)據(jù)得，20×t₁-$\frac{1}{2}$×0.5×${t}_{1}^{2}$=10×t₁+25，
解得：t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s；t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s；
若t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s，
則由v=v₀-at得，摩托車追上最后一輛汽車的速度：
${v}_{2}^{′}$=v₂-at₂=（10-5$\sqrt{3}$）m/s＜v₁，不符合追上的實(shí)際情況，故舍去．
所以摩托車追上最后一輛汽車所用的時(shí)間：t=t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s．
（2）由速度時(shí)間公式v₂′=v₂-at′得，摩托車速度減為10m/s時(shí)所用的時(shí)間：
t′=$\frac{{v}_{2}-{v}_{2}^{′}}{a}$=$\frac{20-10}{0.5}$s=20s，
由速度位移公式${v}_{2}^{′2}$-v₂²═-2ax₂得，摩托車行駛的位移：
x₂=$\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{2}^{′2}}{2a}$=$\frac{2{0}^{2}-1{0}^{2}}{2×0.5}$m=300m，
汽車的位移：x₁=v₁t′=10×20m=200m，
則摩托車與最后一輛汽車的距離：
△x=x₂-x₁-s₀=（300-200-25）m=75m，
則摩托車相遇的汽車數(shù)：n′=$\frac{75}{25}$+1=4輛．
故摩托車與車隊(duì)中汽車共相遇的次數(shù)：N=2（n′-1）+1=7次．
（3）由（1）可知，t₁=（20-10$\sqrt{3}$）s即為摩托車追上汽車車隊(duì)最后一輛車所用的時(shí)間，
t₂=（20+10$\sqrt{3}$）s即為汽車車隊(duì)最后一輛車超過摩托車的所用的時(shí)間，
則摩托車從趕上車隊(duì)到離開車隊(duì)共經(jīng)歷的時(shí)間：△t=t₂-t₁=20$\sqrt{3}$s．
答：（1）摩托車從開始剎車經(jīng)過10（2-$\sqrt{3}$）s能第一次追上汽車車隊(duì)的最后一輛車；
（2）摩托車最多與4輛汽車相遇，摩托車與車隊(duì)中汽車共相遇7次．
（3）摩托車從趕上車隊(duì)到離開車隊(duì)，共經(jīng)歷20$\sqrt{3}$s的時(shí)間．

點(diǎn)評(píng) 本題是相遇問題，根據(jù)對(duì)兩物體運(yùn)動(dòng)過程的分析，畫出兩物體運(yùn)動(dòng)的情景圖，抓住汽車和摩托車之間的位移關(guān)系是求解的關(guān)鍵，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng)，一定要注意追上前該物體是否已停止運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．