Question

7．如圖所示，在真空區(qū)域的豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，x軸水平．坐標(biāo)系的第一象限有沿y軸正向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E₁，第四象限有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．同時(shí)還有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E₂，且E₁=2E₂．現(xiàn)有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，帶電量為q的帶負(fù)電粒子，以平行于x軸正向的初速度從坐標(biāo)軸的P₁點(diǎn)射入第一象限，然后從x軸上的P₂點(diǎn)進(jìn)入第四象限，粒子進(jìn)入第四象限后恰好能做圓周運(yùn)動．已知OP₁=OP₂=L，重力加速度為g，求：
（1）微粒射入的初速度；
（2）粒子進(jìn)入第四象限后做圓周運(yùn)動的半徑；
（3）粒子運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)剛好與另一個(gè)懸浮的可視為質(zhì)點(diǎn)的靜止粒子相碰并粘在一起，且繼續(xù)做圓周運(yùn)動，并剛好垂直于x軸進(jìn)入第一象限．不計(jì)粒子間的靜電力作用，粒子的重力不能忽略，求被碰粒子的質(zhì)量．

Answer 1

分析 粒子進(jìn)入第四象限后做勻速圓周運(yùn)動，則qE₂=mg，微粒從P₁到P₂做類平拋運(yùn)動，根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律求解；
在第四象限，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列方程求半徑；
根據(jù)彭厚粒子能做勻速圓周運(yùn)動求出碰后速度表達(dá)式，根據(jù)動量守恒求出碰前速度與碰后速度的關(guān)系，再根據(jù)重力與電場力平衡求出質(zhì)量；

解答 解：（1）粒子進(jìn)入第四象限后做勻速圓周運(yùn)動，則qE₂=mg
微粒從P₁到P₂做類平拋運(yùn)動，E₁=2E₂
豎直方向：a=$\frac{q{E}_{1}+mg}{m}$=3g
運(yùn)動時(shí)間：t₁=$\sqrt{\frac{2O{P}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2L}{3g}}$
微粒射入的初速度v₀=$\frac{O{P}_{2}}{{t}_{1}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$
（2）到達(dá)P₂點(diǎn)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度v_y=at₁=$\sqrt{6gL}$
進(jìn)入第四象限時(shí)的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$
在第四象限，洛倫茲力提供向心力，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m}{qB}$$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$
（3）被碰粒子在第四象限處于靜止，所受的電場力與重力平衡，粒子帶負(fù)電，設(shè)被碰粒子的質(zhì)量為m₁，電量q₁，則m₁g=q₁E₂
運(yùn)動粒子與靜止的粒子相碰，設(shè)碰后的共同速度為v₁，根據(jù)動量守恒：
mv=（m+m₁）v₁
粘合后能做勻速圓周運(yùn)動（q+q₁）v₁B=（m+m₁）$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
由幾何關(guān)系$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{R-{R}_{1}}{R}$
解得：m₁=（$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$-1）$\frac{q{E}_{2}}{g}$=$\frac{（\sqrt{5}+1）m}{4}$
答：（1）微粒射入的初速度為$\sqrt{\frac{3}{2}gL}$；
（2）粒子進(jìn)入第四象限后做圓周運(yùn)動的半徑$\frac{m}{qB}$$\sqrt{\frac{15}{2}gL}$；
（3）粒子運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)剛好與另一個(gè)懸浮的可視為質(zhì)點(diǎn)的靜止粒子相碰并粘在一起，且繼續(xù)做圓周運(yùn)動，并剛好垂直于x軸進(jìn)入第一象限．不計(jì)粒子間的靜電力作用，粒子的重力不能忽略，被碰粒子的質(zhì)量$\frac{（\sqrt{5}+1）m}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，注意在磁場中的運(yùn)動要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場中注意由類平拋運(yùn)動的規(guī)律求解．