Question

11．2014年12月14日，北京飛行控制中心傳來好消息，嫦娥三號(hào)探測(cè)器平穩(wěn)落月．已知嫦娥三號(hào)探測(cè)器在地球表面受的重力為G₁，繞月球表面飛行時(shí)受到月球的引力為G₂，地球的半徑為R₁，月球的半徑為R₂，地球表面處的重力加速為g．則（　�。�

• A． 探測(cè)器沿月球表面軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{2}}}$
• B． 月球與地球的質(zhì)量之比為$\frac{{G}_{1}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{2}{{R}_{1}}^{2}}$
• C． 月球表面處的重力加速度為$\frac{{G}_{1}}{{G}_{2}}$g
• D． 月球與地球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}}$

Answer 1

分析 結(jié)合嫦娥三號(hào)在地球上的重力得出質(zhì)量的大小，結(jié)合萬有引力提供向心力，求出探測(cè)器繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．根據(jù)萬有引力等于重力求出地球質(zhì)量的表達(dá)式，根據(jù)月球?qū)︼w船的引力求出月球的質(zhì)量，從而得出月球與地球質(zhì)量的比值．根據(jù)嫦娥三號(hào)在月球表面飛行時(shí)受到的引力得出月球表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的表達(dá)式，結(jié)合質(zhì)量之比和半徑之比求出第一宇宙速度之比．

解答 解：A、嫦娥三號(hào)的質(zhì)量m=$\frac{{G}_{1}}{g}$，根據(jù)${G}_{2}=m{R}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{2}}}$，故A正確．
B、根據(jù)萬有引力等于重力得，$G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{1}}^{2}}=mg$，解得地球質(zhì)量${M}_{地}=\frac{g{{R}_{1}}^{2}}{G}$，月球?qū)︼w船的引力${G}_{2}=G\frac{{M}_{月}m}{{{R}_{2}}^{2}}$，解得月球的質(zhì)量${M}_{月}=\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{Gm}=\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}g}{G{G}_{1}}$，
則月球與地球質(zhì)量之比為$\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$，故B錯(cuò)誤．
C、嫦娥三號(hào)繞月球表面飛行時(shí)受到月球的引力為G₂，有G₂=mg′，解得月球表面的重力加速度g′=$\frac{{G}_{2}}{m}=\frac{{G}_{2}g}{{G}_{1}}$，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，則月球與地球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}×\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問題，關(guān)鍵是構(gòu)建物理模型，掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力，再運(yùn)用數(shù)學(xué)變換進(jìn)行分析處理．