Question

13．如圖，直角三角形 abc 內(nèi)有方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場強(qiáng)度的大小為B，∠a=30°，ac=2L，P 為 ac 的中點(diǎn)．在 P 點(diǎn)有一粒子源可沿平行 cb 方向發(fā)出動能不同的同種正粒子，粒子的電荷量為 q、質(zhì)量為 m，且粒子動能最大時，恰好垂直打在 ab 上．不考慮重力，下列判斷正確的是（　　）

• A． 粒子動能的最大值為$\frac{{q}^{2}^{2}{L}^{2}}{m}$
• B． ab 上可能被粒子打中區(qū)域的長度為$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$L
• C． 粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間$\frac{πm}{6qB}$
• D． ac 上可能被粒子打中區(qū)域的長度為$\frac{1}{3}$L

Answer 1

分析 從P點(diǎn)沿cb方向即垂直于ac方向發(fā)出的動能最大的粒子其速度也最大，恰好垂直打在ab上，由幾何關(guān)系求出最大速度對應(yīng)的半徑，從而可以求出最大動能，至于打在ab上的最長距離，確定打在ab上的最小速度對應(yīng)的半徑，即與ab恰好相切，最大速度與最小速度的粒子打在ab上的距離由由幾何關(guān)系就能求出來．至于運(yùn)動的最長時間當(dāng)然是打在ac上的粒子，當(dāng)速度比上述速度更小時將打在ac上，從該點(diǎn)到P點(diǎn)的距離就是打在ac上的范圍．

解答 解：畫出速度最大和打在ab上速度最小的軌跡如圖所示，半徑分別為r₁和r₂，由題意和幾何關(guān)系知道：r₁=aP=ae=L，由于打在ab上速度最小的粒子的軌跡與ab相切于f點(diǎn)，由幾何關(guān)系其對就的半徑為：r₂=$\frac{1}{3}aP$=$\frac{1}{3}L$．
A、最大動能對應(yīng)最大的半徑r₂，由半徑公式求得最大速度為：v₂=$\frac{qBr}{m}=\frac{qBL}{m}$，最大動能E_k=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{2m}$，所以選項(xiàng)A錯誤．
B、打在ab上速度最小的粒子的軌跡恰與ab相切于f點(diǎn)，由幾何關(guān)系知af=$\sqrt{3}{r}_{2}=\frac{\sqrt{3}L}{3}$，則打在ab上的范圍為ae-af=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}L$，所以選項(xiàng)B正確．
C、顯然最長時間是打在ac上的粒子，其軌跡為半圓，時間為$\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$，所以選項(xiàng)C錯誤．
D、如圖，當(dāng)速度比v₂更小時，粒子將打在ac上，其范圍為Pg=2r₂=$\frac{2}{3}L$，所以選項(xiàng)D錯誤．
故選：B

點(diǎn)評 本題是動態(tài)的思想去思考問題，由于入射方向確定，可以想象當(dāng)速度越大時，半徑越大，則越靠上，運(yùn)動時間越短．據(jù)此畫出打在ab上的兩個粒子的軌跡，由幾何關(guān)系求出對應(yīng)的半徑，及對應(yīng)的速度，從而可以判定粒子打在ab和ac上的范圍和運(yùn)動最長時間和最短時間．