Question

16．質量均為m的兩個小球A、B固定在輕質等腰直角形框架的兩個頂點上，框架可繞過O點的光滑轉軸在豎直平面內自由轉動，兩直角邊長為L．開始時，OB邊水平，OA邊豎直，現由靜止釋放，重力加速度為g，忽略空氣阻力．下列說法中正確的是（　�。�

• A． 框架轉動過程中地球、球A、球B框架構成的系統機械能守恒
• B． 釋放后，當OB桿轉到與水平發(fā)那個向成45°時，兩球速度達到最大
• C． 框架轉動過程中B球不能到達A球初始位置
• D． 框架轉動過程中兩球達到的最大速度為$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gl}$

Answer 1

分析 AB兩個球組成的系統機械能守恒，但對于單個的球來說機械能是不守恒的，根據系統的機械能守恒列式可以分析A球速度最大時，兩小球的總重力勢能應最�。�

解答 解：A、球A和B組成的系統，在轉動過程中，只有重力做功機械能守恒，地球、球A、球B框架構成的系統機械能守恒，故A正確；
B、D、釋放后，A球的速度最大，B球的速度也最大，則兩球的總動能最大，根據系統的機械能守恒得知，兩小球的總重力勢能最�。�以O點的位置為0勢能點，則開始時系統的勢能：
E₁=-mgL   ①
設AO與水平方向之間的夾角是α時，兩個小球的速度最大，則此時BO與水平方向之間的夾角是（90°-α），它們的勢能的和：
E₂=-mgLsinα-mgLsin（90°-α）=-mgL（sinα+cosα）=$-\sqrt{2}mgLsin（α+\frac{π}{4}）$   ②
所以當$α=\frac{π}{4}=45°$時，E₂最小，則兩個小球的速度最大．故B正確；
C、由于地球、球A、球B框架構成的系統機械能守恒，而且A與B的質量是相等的，所以框架轉動過程中B球能到達A球初始位置，故C錯誤．
D、根據B的分析可知，45°時，兩球速度達到最大．根據機械能守恒快的：
${E}_{1}-{E}_{2}=\frac{1}{2}•2m{v}_{m}^{2}$   ③
聯立①②③得：v_m=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）gl}$．故D正確．
故選：ABD

點評 本題關鍵是注意兩個球整體機械能守恒，單個小球機械能不守恒，當A球的速度最大，B球的速度也最大．