Question

12．如圖所示的坐標系，x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．在x軸上方空間的第二象限內(nèi)，有一個豎直向下的勻強電場，在第三象限，存在沿y軸正方向的勻強電場和垂直xy平面（紙面）向里的勻強磁場．在第一、第四象限，存在著與x軸正方向夾角為30°的勻強電場，四個象限的電場強度大小均相等．一質(zhì)量為m、電量為+q的帶電質(zhì)點，從y軸上y=h處的p點以一定的水平初速度沿x軸負方向進入第二象限．然后經(jīng)過x軸上x=-2h處的p點進入第三象限，帶電質(zhì)點恰好能做勻速圓周運動．之后經(jīng)過y軸上y=-2h處的p點進入第四象限．已知重力加速度為g．求：
（1）粒子到達p點時速度的大小和方向；
（2）電場強度和磁感應強度的大��；
（3）當帶電質(zhì)點在進入第四象限后，離x軸最近時距原點O的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電場力與重力相等，則洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律與運動學公式，即可求解；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關系，即可求解磁場；
（3）將運動進行分解，結(jié)合矢量合成法則，并運用運動學公式，即可求解．

解答 解：（1）設第三象限的電場強度大小為E．
由粒子進入第三象限恰好能做勻速圓周運動知：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
在第二象限豎直方向加速度a₂=$\frac{mg+qE}{m}$=2g
那么水平方向：2h=v₀t₁   
豎直方向：h=$\frac{1}{2}$a₂t₁²；
因此v₀=2$\sqrt{gh}$  
t₁=$\sqrt{\frac{h}{g}}$
豎直方向v_y=2gt₁=2$\sqrt{gh}$
因此V=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{2gh}$
與x軸負向夾角θ，則tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=1；
解得：θ=45°；
（2）進入第三象限重力和電場力抵消，磁場力提供向心力BqV=$\frac{m{V}^{2}}{r}$；
而由幾何知識知p₂p₃為圓周的直徑；
則有r=$\sqrt{2}$h
解得：B=$\frac{2m\sqrt{gh}}{qh}$
（3）粒子進入第四象限豎直向下的力大小F_y=Eqsin30°+mg   
豎直向下加速度大小a_y=$\frac{3}{2}g$
當粒子豎直向上的速度為0時離x軸最近
即v_y=Vcos45°-a_yt₂=0   
t₂=$\frac{4\sqrt{gh}}{3g}$
則有粒子上升的最大高度H=Vcos45°t₂-$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{2}^{2}$
解得：H=$\frac{4}{3}h$
那么離x軸最近的距離y=2h-H=$\frac{2}{3}h$
又水平方向加速度大小a_x=$\frac{\sqrt{3}}{2}g$
則水平方向向右距離為x=vsin45°t₂+$\frac{1}{2}{a}_{x}{t}_{2}^{2}$=$\frac{8h}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{9}h$
故距原點O的距離s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\frac{2\sqrt{165+48\sqrt{3}}}{9}h$；
答：（1）粒子到達p點時速度的大小2$\sqrt{2gh}$和方向與x軸負向夾角45°；
（2）電場強度$\frac{mg}{q}$和磁感應強度的大小$\frac{2m\sqrt{gh}}{qh}$；
（3）當帶電質(zhì)點在進入第四象限后，離x軸最近時距原點O的距離$\frac{2\sqrt{165+48\sqrt{3}}}{9}h$．

點評 考查粒子在電場與磁場運動，掌握類平拋運動與勻速圓周運動，理解運動的合成與分解，及處理平拋運動的規(guī)律．