Question

16．如圖所示，兩根足夠長的“∧”型平行金屬導(dǎo)軌豎直固定放置，兩側(cè)導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角均為θ=30°，導(dǎo)軌間距為L，電阻不計(jì)．導(dǎo)軌所在空間存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向分別垂直兩側(cè)導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場．將質(zhì)量為m的金屬條ab垂直導(dǎo)軌放在右側(cè)導(dǎo)軌上，金屬條ab剛好不下滑；若將光滑導(dǎo)體棒cd垂直導(dǎo)軌置于左側(cè)導(dǎo)軌上并由靜止釋放，當(dāng)cd開始勻速運(yùn)動時，ab剛好開始向上滑動．已知ab、cd接人電路的電阻均為R，cd下滑過程中始終與導(dǎo)軌垂直．
（1）求導(dǎo)體棒cd的質(zhì)量M；
（2）已知cd從釋放到開始勻速運(yùn)動的過程中，ab中產(chǎn)生的熱量為Q，求此過程中通過ab的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）先研究ab棒剛好不下滑的狀態(tài)，靜摩擦力達(dá)到最大值，由平衡條件求得最大靜摩擦力．再研究cd開始勻速運(yùn)動時，ab剛好開始向上滑動的情形：分別對兩棒運(yùn)用平衡條件列式，聯(lián)立即可求得M．
（2）由平衡條件求出cd棒勻速運(yùn)動的速度，根據(jù)能量守恒定律求出cd棒下滑的距離，再由q=$\frac{△Φ}{R}$求解．

解答 解：（1）原來金屬條ab剛好不下滑，則最大靜摩擦力為：f_m=mgsin30°
當(dāng)cd開始勻速運(yùn)動時，ab剛好開始向上滑動．由平衡條件，
對ab棒有：F_安=f_m+mgsin30°
對cd棒有：F_安′=Mgsin30°
又 F_安=F_安′
可得 M=2m
（2）設(shè)cd棒下滑的距離為S．勻速運(yùn)動的速度為v．則有：Mgsin30°=BIL=B$\frac{BLv}{2R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
解得：v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
根據(jù)能量守恒定律得：Mgsin30°S=2Q+$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得：S=$\frac{2Q+\frac{8{m}^{3}{g}^{2}R}{{B}^{4}{L}^{4}}}{mg}$
此過程中通過ab的電荷量為：q=$\overline{I}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{2R}$=$\frac{BLS}{2R}$=$\frac{Q{B}^{4}{L}^{4}+4{m}^{3}{g}^{2}R}{mg{B}^{3}{L}^{3}}$
答：（1）導(dǎo)體棒cd的質(zhì)量M是2m；
（2）此過程中通過ab的電荷量q是$\frac{Q{B}^{4}{L}^{4}+4{m}^{3}{g}^{2}R}{mg{B}^{3}{L}^{3}}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，關(guān)鍵是計(jì)算安培力的大小和分析能量怎樣轉(zhuǎn)化，根據(jù)平衡條件和能量守恒進(jìn)行研究．