Question

13．圓軌道上運動的質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，它到地球表面的距離等于地球半徑R，地球表面上的重力加速度為g，則
（1）這顆人造衛(wèi)星的周期為多少？
（2）此時人造衛(wèi)星的線速度有多大？
（3）此時人造衛(wèi)星的動能有多大？

Answer 1

分析 人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，地球?qū)θ嗽煨l(wèi)星的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可列式求出線速度、角速度、周期和向心力的表達式．再根據(jù)萬有引力近似等于重力得出黃金代換公式即可．

解答 解：（1）人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，設地球質(zhì)量為M、衛(wèi)星的軌道半徑為r，則有：
 $\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=2R
忽略地球自轉(zhuǎn)的影響有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
（3）衛(wèi)星的動能為：E_k=$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{4}$mgR，
答：（1）這顆人造衛(wèi)星的周期為4π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
（2）此時人造衛(wèi)星的線速度有$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
（3）此時人造衛(wèi)星的動能有$\frac{1}{4}$mgR．

點評 本題關鍵根據(jù)人造衛(wèi)星的萬有引力充當向心力，以及地球表面物體的重力等于萬有引力列兩個方程求解．