Question

13．如圖所示，傳送帶的兩個輪子半徑均為r=0.2m，兩個輪子最高點A、B在同一水平面內(nèi)，A、B間距離l=5m，半徑R=0.4m的固定、豎直光滑圓軌道與傳送帶相切于B點、C點是圓軌道的最高點，質(zhì)量m=0.1kg的小滑塊與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ=0.4．重力加速度g=10m/s²．
（1）當傳送帶靜止時，小滑塊以一定的速度從傳送帶上的A點出發(fā)，到B點后恰好又通過C點，求小滑塊在A點的速度．
（2）當傳送帶的輪子以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動，將小滑塊無初速地放到傳送帶上的A點，小滑塊恰好運動到如圖所示的D點，OD的連線與豎直方向夾角為60°，求這一過程中小滑塊在傳送帶上運動的時間和傳送帶的輪子轉(zhuǎn)動的角速度．

Answer 1

分析 （1）分析滑塊的運動，由牛頓第二定律和運動學公式求解
（2）根據(jù)動能定理求出對應到達C點時的速度，再牛頓第二定律求解

解答 解：（1）設小滑塊在A點的速度為v₁，在C點的速度為v₂；
因小滑塊恰好通過C點，所以有：mg=$\frac{m{v}_{2}^{2}}{R}$；
對全過程由動能定理，則有：-μmgl-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$；
聯(lián)立兩式得：v₁=$\sqrt{5gR+2μgl}$=$\sqrt{60}$m/s；
（2）設小滑塊在傳送帶上到B點的速度為v₃，因小滑塊由B到D的過程中只有重力做功，機械能守恒，
根據(jù)機械能守恒定律，則有：$mg（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$；
代入數(shù)據(jù)，解得：${v}_{3}=\sqrt{gR}$=2m/s；
由牛頓第二定律可知，小滑塊在傳送帶上運動時，有：μmg=ma；
所以a=μg=4m/s²；
若小滑塊在傳送帶上一直做加速運動，設在B點的速度為v′；
由勻變速直線運動規(guī)律，$v′=\sqrt{2al}$；
代入數(shù)據(jù)，解得：$v′=\sqrt{40}$m/s；
因為v₃＜v′，所以小滑塊在傳送帶上一定是先加速運動后勻速運動，
設加速運動的時間為t₁，勻速運動的時間為t₂；
由勻變速直線運動規(guī)律，v₃=at₁，解得：t₁=0.5s；
所以小滑塊在傳送帶上勻加速運動的位移為x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$；
代入數(shù)據(jù)，解得：x₁=0.5m；
所以小滑塊在傳送帶上勻速運動的時間為t₂=$\frac{{x}_{2}}{{v}_{3}}=\frac{l-{x}_{1}}{{v}_{3}}$=$\frac{4.5}{2}$=2.25m/s；
故小滑塊在傳送帶運動的時間t=t₁+t₂=0.5+2.25=2.75s；
根據(jù)公式v=ωr可得，傳送帶的輪子轉(zhuǎn)動的角速度ω=$\frac{{v}_{3}}{r}$=$\frac{2}{0.2}$=10rad/s；
答：（1）小滑塊在A點的速度$\sqrt{60}$m/s．
（2）這一過程中小滑塊在傳送帶上運動的時間和傳送帶的輪子轉(zhuǎn)動的角速度10rad/s．

點評 解決該題關(guān)鍵要掌握牛頓第二定律，運動學公式以及動能定理的應用，及理解v=ωr的含義．