Question

7．行星中的金星和火星，設(shè)它們的軌道半徑分別為r₁、r₂（已知太陽質(zhì)量為M、引力常量G）
（1）求它們的線速度，角速度，周期之比；
（2）某時刻金星、火星相距最近（太陽中心、金星、火星在同一直線上且在太陽同側(cè)），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求出線速度、角速度、周期與軌道半徑的關(guān)系，從而得出線速度、角速度、周期之比．
當(dāng)兩者轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時，再一次相距最近．

解答 解：（1）根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr{ω}^{2}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
軌道半徑之比為r₁：r₂，
則線速度之比為$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，角速度之比$\frac{{ω}_{1}}{{ω}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，周期之比為$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．
（2）當(dāng)金星和火星的站點的角度之差為2π時，再一次相距最近．
金星的角速度${ω}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}$，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}$，
根據(jù)ω₁t-ω₂t=2π，
解得t=$\frac{2π}{{ω}_{1}-{ω}_{2}}$=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$．
答：（1）它們的線速度，角速度，周期之比分別為$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$、$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$、$\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{r}_{2}}^{3}}}$．
（2）經(jīng)過$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$時間它們再一次相距最近

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應(yīng)用能力．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．