Question

17．如圖所示為通過彈射器研究彈性勢能的實驗裝置．光滑$\frac{3}{4}$圓形軌道豎直固定于光滑水平面上，半徑為R．彈射櫸固定于A處．某實驗過程中彈射器射出一質(zhì)量為m的小球，恰能沿圓軌道內(nèi)側(cè)到達最髙點C，然后從軌道D處（D與圓心等高）下落至水平面．取重力加速度為g下列說法正確的是（　　）

• A． 小球運動至最低點B時對軌道壓力為5mg
• B． 小球從D處下落至水平面的時間小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 小球落至水平面時的動能為2mgR
• D． 釋放小球前彈射器的彈性勢能為$\frac{5mgR}{2}$

Answer 1

分析 恰能沿圓軌道內(nèi)側(cè)到達最髙點C，在最高點由重力提供向心力，由臨界條件可求得最高點的速度；
由機械能守恒和牛頓第二定律可求得B點的壓力；
小球由D到地面做勻加速直線運動，假設(shè)做自由落體運動時，求出時間再進行比較；
小球從被彈出后機械能守恒，由機械能守恒可求小球落至水平面時的動能；
利用功能關(guān)系可求釋放小球前彈射器的彈性勢能．

解答 解：A．小球恰好通過最高點，則由mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得v=$\sqrt{gR}$；由B到C過程中，機械能守恒，則有：mg•2R=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；B點時由牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$；聯(lián)立解得，F(xiàn)=6mg，故A錯誤；
B．小球從C到D的過程中機械能守恒，則有mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；解得v_D=$\sqrt{3gR}$；小球由D到地面做勻加速直線運動，若做自由落體運動時，由R=$\frac{1}{2}$gt²可得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，而現(xiàn)在有初速度，故時間小于$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，故B正確；
C．對C到地面過程由機械能守恒得：E_k-$\frac{1}{2}$mv²=mg•2R，E_K=2.5mgR．故C錯誤；
D．小球彈出后的機械能等于彈射器的彈性勢能，由功能關(guān)系可得彈性勢能為：E=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²=2.5mgR．故D正確．
故選：BD．

點評 本題考查功能關(guān)系及機械能守恒定律，要注意明確系統(tǒng)只有重力及彈簧的彈力做功，機械能才守恒；正確選擇初末狀態(tài)即可順利求解．注意輕繩模型在最高點的臨界條件．