Question

8．人造地球衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T．求：
（1）地球同步衛(wèi)星距地面的高度；
（2）若地球半徑為6400km，地表重力加速度g取10m/s²，考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，試估算從地球赤道發(fā)射近地軌道衛(wèi)星所需要的最低速度．根據(jù)結(jié)論你認(rèn)為衛(wèi)星發(fā)場(chǎng)選址因該遵循什么原則；
（3）衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)中既具有動(dòng)能又具有引力勢(shì)能（引力勢(shì)能實(shí)際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡(jiǎn)略地說此勢(shì)能是人造衛(wèi)星所具有的）．設(shè)地球的質(zhì)量為M，以衛(wèi)星離地球無限遠(yuǎn)處時(shí)的引力勢(shì)能為零，則質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在距離地心為r處時(shí)的引力勢(shì)能E_p=-$\frac{GMm}{r}$（G為引力常量）．物體在地球表面繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度叫第一宇宙速度．當(dāng)物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時(shí)，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星，這個(gè)速度叫做第二宇宙速度，根據(jù)以上條件求第二宇宙速度和第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 （1）在地面附近，重力等于萬有引力，列式可以求解地球質(zhì)量；對(duì)于同步衛(wèi)星，萬有引力提供向心力，列式求解高度；
（2）近地衛(wèi)星受萬有引力提供向心力，如果在赤道上順著自轉(zhuǎn)方向發(fā)射，發(fā)射速度可以減去地球的自轉(zhuǎn)速度；
（3）第二宇宙速度為衛(wèi)星脫離地球束縛的最小速度，人造衛(wèi)星機(jī)械能守恒，由萬有引力提供向心力公式，求出關(guān)于速度的表達(dá)式，再根據(jù)動(dòng)能的具體形式進(jìn)行代換，求出動(dòng)能，動(dòng)能加上此時(shí)的引力勢(shì)能即為機(jī)械能，衛(wèi)星在地表處動(dòng)能剛好等于此處勢(shì)能時(shí)便可脫離地球；當(dāng)衛(wèi)星繞地球附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度，即為第一宇宙速度，由萬有引力和向心力結(jié)合得到第一宇宙速度．

解答 解：（1）在地面附近，重力等于萬有引力，故：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
對(duì)于同步衛(wèi)星，萬有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
解得：
h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
（2）當(dāng)衛(wèi)星圍繞地表飛行時(shí)有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=8000m/s；
赤道上的物體由于地球自轉(zhuǎn)而具有的速度為：$v′=\frac{2πR}{T}$≈500m/s
最小速度v″=v-v′=7500m/s
發(fā)射場(chǎng)應(yīng)該盡量靠近赤道，發(fā)射場(chǎng)盡量建在高處；
（3）第一宇宙速度：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$       
解得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
當(dāng)衛(wèi)星脫離地球吸引時(shí)衛(wèi)星勢(shì)能為零，最低動(dòng)能為零．
由衛(wèi)星發(fā)射后機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+（-\frac{GMm}{R}）=0+0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
所以：$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\sqrt{2}$
答：（1）地球同步衛(wèi)星距地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R；
（2）從地球赤道發(fā)射近地軌道衛(wèi)星所需要的最低速度約為7500m/s，發(fā)射場(chǎng)應(yīng)該盡量靠近赤道，發(fā)射場(chǎng)盡量建在高處；
（3）第二宇宙速度和第一宇宙速度之比為$\sqrt{2}$：1．

點(diǎn)評(píng) 本題根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律研究衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情況和發(fā)射情況，第3問關(guān)鍵是明確衛(wèi)星與地球的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，離開地球的臨界條件是到無窮遠(yuǎn)處的動(dòng)能為零．