Question

3．如圖1所示，在某星球表面用一長為R的輕繩約束一個質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在最低點(diǎn)B給小球一個大小為$\sqrt{5gR}$的水平初速度時，小球恰好能通過最高點(diǎn)A，且在最低點(diǎn)B與最高點(diǎn)A，小球所受輕繩的拉力之差為△F，不計(jì)一切阻力．
（1）求星球表面的重力加速度
（2）如圖2當(dāng)小球運(yùn)動到最低點(diǎn)B時，繩子突然被剪斷，小球運(yùn)動一段時間后恰好擊中傾角為θ的斜面，且位移最短，試求該小球運(yùn)動的時間．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通過最高點(diǎn)，結(jié)合最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的拉力之差，根據(jù)牛頓第二定律求出星球表面的重力加速度．
（2）當(dāng)小球的位移方向與斜面垂直，位移最短，結(jié)合豎直位移和水平位移的關(guān)系求出小球運(yùn)動的時間．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)，可知在最高點(diǎn)，繩子的拉力為零，
在最低點(diǎn)B與最高點(diǎn)A，小球所受輕繩的拉力之差為△F，可知在最低點(diǎn)繩子的拉力為△F，
則有：$△F-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得△F=6mg，
則g=$\frac{△F}{6m}$．
（2）小球擊中斜面，位移最短，可知位移的方向與斜面垂直，
根據(jù)平行四邊形定則有：tan（90°-θ）=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{B}t}=\frac{gt}{2{v}_{B}}$，
解得$t=\frac{2{v}_{B}}{gtanθ}$，
將g=$\frac{△F}{6m}$，${v}_{B}=\sqrt{5gR}$代入得，t=$\frac{2\sqrt{\frac{30mR}{△F}}}{tanθ}$．
答：（1）星球表面的重力加速度為$\frac{△F}{6m}$．
（2）該小球運(yùn)動的時間為$\frac{2\sqrt{\frac{30mR}{△F}}}{tanθ}$．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，以及圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．