Question

10．如圖所示，平行導(dǎo)軌PP′、QQ′均由傾斜和水平兩部分組成，相距為L₁．傾斜部分與水平面夾角為θ，虛線pq為兩部分的連接處．質(zhì)量為m₀、電阻為r的導(dǎo)體桿ef與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù)均為μ，且滿足μ＜tanθ．在虛線pq右側(cè)空間分布有方向豎直磁場Ⅰ，其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁=B₀cos$\frac{2π}{λ}$x（豎直向下定為磁場的正方向）．式中λ為具有長度單位的常量；x為沿水平軌道向右的位置坐標(biāo)，并定義pq的x坐標(biāo)為0．將質(zhì)量為m、每邊電阻均為r、邊長為L₂的正方形金屬框abcd用絕緣柔線懸掛于天花板上a′和b′處，使ab邊保持水平，并用細(xì)導(dǎo)線將a、b兩點(diǎn)與導(dǎo)軌的兩端點(diǎn)Q、P相連，金屬框處于垂直與向里設(shè)置勻強(qiáng)磁場Ⅱ垂直．將ef從傾斜軌道上距水平軌道高為h處由靜止釋放，為保持導(dǎo)體桿ef能在水平軌道上作勻速運(yùn)動，現(xiàn)給導(dǎo)體桿施加一x方向的水平作用力F．設(shè)ef經(jīng)過pq時(shí)沒有因速度方向改變產(chǎn)生能量損失，也不計(jì)其余電阻和細(xì)導(dǎo)線對a、b兩點(diǎn)的作用力，金屬框始終保持靜止．求：
（1）導(dǎo)體棒ef剛進(jìn)入磁場時(shí)，線框ab邊的電壓；
（2）磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件；
（3）ef在水平軌道上前進(jìn)距離λ的過程中，力F所作的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出導(dǎo)體棒ef剛進(jìn)入磁場時(shí)的速度，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式，根據(jù)串并聯(lián)電路的特點(diǎn)得出外電阻，運(yùn)用歐姆定律求出線框ab邊的電壓；
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律得出通過ab桿和cd桿的電流，抓住線框所受的安培力不超過其重力求出磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件；
（3）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式得出對應(yīng)的感應(yīng)電動勢大小，電動勢變化為余弦曲線，求出有效值，前進(jìn)λ剛好對應(yīng)電源e變化一個周期t=$\frac{λ}{v}$，通過電功的公式求出電源在此過程中做功的大小，結(jié)合摩擦力做功，運(yùn)用能量守恒求出外力F做功的大�。�

解答 解：（1）設(shè)剛進(jìn)入磁場I時(shí)桿的速度為v，有：$mgh-μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得v=$\sqrt{2gh（1-μcotθ）}$，
此時(shí)桿的感應(yīng)電動勢為E=B₀L₁v，
abcd框相對于ab兩點(diǎn)的電阻為${R}_{外}=\frac{3{r}^{2}}{r+3r}=\frac{3r}{4}$，
ab邊的電壓為${U}_{ab}=\frac{E}{r+{R}_{外}}{R}_{外}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7}$．
（2）剛進(jìn)入時(shí)，流過ab桿和cd桿的電流分別為${I}_{1}=\frac{{U}_{ab}}{r}$=$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
${I}_{2}=\frac{{U}_{ab}}{3r}$=$\frac{{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
線框保持靜止，其受到的安培力必不超過其重力，即
B₂（I₁+I₂）L₂≤mg，
解得B₂≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}$．
（3）當(dāng)桿ef在水平軌道上x處時(shí)，有x=vt
對應(yīng)的感應(yīng)電動勢大小為e=${B}_{1}{L}_{1}v={B}_{0}cos（\frac{2π}{λ}x）{L}_{1}v$=${B}_{0}{L}_{1}vcos（\frac{2π}{λ}vt）$．
在前進(jìn)λ為的過程中，其電動勢變化為余弦曲線，對應(yīng)有效值為
$E=\frac{{B}_{0}{L}_{1}v}{\sqrt{2}}$=${B}_{0}{L}_{1}\sqrt{gh（1-μcotθ）}$，
前進(jìn)λ剛好對應(yīng)電源e變化一個周期t=$\frac{λ}{v}$，故有電源在此過程中做功為${W}_{e}=\frac{{E}^{2}}{r+\frac{3r}{4}}t$=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$，
摩擦力做功為Q_f=μm₀gλ，
力F做的功等于摩擦產(chǎn)生的熱與此過程中電源對外做的功，即W_F=Q_f+W_e=$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$+μm₀gλ．
答：（1）導(dǎo)體棒ef剛進(jìn)入磁場時(shí)，線框ab邊的電壓為$\frac{3{B}_{0}{L}_{1}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}{7}$；
（2）磁場Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂應(yīng)滿足的條件為B₂≤$\frac{7mgr}{4{B}_{0}{L}_{1}{L}_{2}\sqrt{2gh（1-μcotθ）}}$；
（3）ef在水平軌道上前進(jìn)距離λ的過程中，力F所作的功為$\frac{2\sqrt{2}{{B}_{0}}^{2}{{L}_{1}}^{2}\sqrt{gh（1-μcotθ）}}{7r}$+μm₀gλ．

點(diǎn)評 本題考查了電磁感應(yīng)與電路和力學(xué)、能量的綜合運(yùn)用，要注意明確電路結(jié)構(gòu)，正確做出受力分析，再通過功能關(guān)系進(jìn)行分析即可，注意第三問產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢變化為余弦曲線，可以結(jié)合交變電流知識求解．