Question

13．如圖所示，甲圖是一圓形光滑軌道，半徑為R，乙圖是一開口向下的拋物面光滑軌道，與y軸交點(diǎn)為拋物面的頂點(diǎn)．現(xiàn)同時(shí)將質(zhì)量為m的兩個(gè)相同小球分別由兩軌道頂點(diǎn)靜止釋放，在小球沿軌道運(yùn)動(dòng)直至落在水平面過程中，下列說法正確的是（　�。�（已知重力加速度為g）

• A． 甲圖中小球一定不能落在x=R處
• B． 甲圖中小球在落x軸上時(shí)豎直方向速度v_y=$\frac{\sqrt{46gR}}{3\sqrt{3}}$
• C． 乙圖中無論a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置
• D． 乙圖中小球落在x軸時(shí)方向豎直向下

Answer 1

分析 甲球先沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，然后離開軌道做斜下拋運(yùn)動(dòng)．根據(jù)機(jī)械能守恒定律和向心力公式求出球離開圓軌道的位置，再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法求小球在落x軸上時(shí)豎直方向速度．乙圖中小球一定能落到x=b的位置，落在x軸時(shí)有水平分速度．

解答 解：AB、甲球先沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，隨著速度的增大，所需要的向心力增大，當(dāng)軌道的支持力為零時(shí)球做離心運(yùn)動(dòng)，離開圓軌道后做斜下拋運(yùn)動(dòng)，不可能在x=R處．
設(shè)球離開圓軌道時(shí)半徑與豎直方向的夾角為α．由機(jī)械能守恒定律得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．在離開圓軌道的位置，有 mgcosα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 cosα=$\frac{2}{3}$，v=$\sqrt{\frac{2}{3}gR}$
球離開圓軌道后，由運(yùn)動(dòng)的分解法可得：球落地時(shí)水平速度為 v_x=vcosα
落地時(shí)的速度設(shè)為v′，則由機(jī)械能守恒定律得 mgR=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，得v′=$\sqrt{2gR}$
則小球在落x軸上時(shí)豎直方向速度 v_y=$\sqrt{v{′}^{2}-{v}_{x}^{2}}$
聯(lián)立解得 v_y=$\frac{\sqrt{46gR}}{3\sqrt{3}}$．故B正確．
C、乙圖軌道是拋物線，無論a，b取何值，小球一定能落到x=b的位置．故C正確．
D、乙圖中小球落在x軸時(shí)有水平分速度，速度不可能豎直向下．故D錯(cuò)誤．
故選：ABC

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析兩球的運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件分析，要明確拋體運(yùn)動(dòng)可根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解法研究．