Question

12．如圖甲所示，兩根足夠長的豎直光滑平行金屬導軌相距L₁=0.1m，導軌下端通過導線連接阻值R=0.4Ω的電阻，質(zhì)量m=0.2kg，阻值r=0.1Ω的金屬棒MN放在兩導軌上，棒與導軌垂直并保持良好接觸，整個裝置處于垂直導軌平面的交替變化的磁場中，B₁=20T，B₂=10T，各磁場寬度均為L₂=0.05m，取g=10m/s²．
（1）若用一豎直向上的拉力將金屬棒從ab位置以v=1m/s的速度勻速拉到jk位置，求拉力做的功和電路中電流的有效值．
（2）若所加磁場的磁感應強度大小恒為B′，用功率恒為P_m=6W的豎直向上的拉力使棒從靜止開始向上運動，棒向上的位移隨時間變化的情況如圖乙所示，試求磁感應強度B'的大小和棒變速運動階段在電阻R上的產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）由于棒勻速運動，可根據(jù)公式E=BLv、歐姆定律和焦耳定律求出電路中產(chǎn)生的焦耳熱，再根據(jù)功能關系求解拉力做的功．根據(jù)有效值的定義，求解電流的有效值．
（2）位移時間圖象的斜率等于速度，據(jù)此求出棒勻速運動的速度大小，根據(jù)平衡條件及安培力與速度的關系式結(jié)合，可求得B′．根據(jù)焦耳定律求出R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）棒在ac段和ce段產(chǎn)生的感應電流大小分別為 I₁=$\frac{{B}_{1}{L}_{1}v}{R+r}$=$\frac{20×0.1×1}{0.4+0.1}$A=4A
I₂=$\frac{{B}_{2}{L}_{1}v}{R+r}$=$\frac{10×0.1×1}{0.4+0.1}$A=2A
棒通過各段磁場區(qū)域的時間為 t=$\frac{{L}_{2}}{v}$=$\frac{0.05}{1}$s=0.05s
故將金屬棒從ab位置勻速運動到jk位置的過程中，回路中產(chǎn)生的焦耳熱為 Q=2[${I}_{1}^{2}（R+r）t$+${I}_{2}^{2}（R+r）t$]=2[4²×0.5×0.05+2²×0.5×0.05]J=1J
則拉力做功為 W=Q+4mgL₂=1+4×0.2×10×0.05=1.4J
設電流的有效值為I，則Q=I²（R+r）•4t
代入得 1=I²×0.5×4×0.05
解得 I=$\sqrt{10}$A
（2）根據(jù)位移圖象的斜率等于速度，可知棒勻速運動的速度大小為 V=$\frac{△x}{△t}$=$\frac{0.8}{0.4}$=2（m/s）
速度為V時金屬棒所受的安培力大小 F_安=B′•$\frac{B′{L}_{1}V}{R+r}$•V=$\frac{B{′}^{2}{L}_{1}^{2}V}{R+r}$
根據(jù)平衡條件得 $\frac{{P}_{m}}{V}$=mg+F_安
代入得：$\frac{6}{2}$=2+$\frac{B{′}^{2}×0．{1}^{2}×2}{0.5}$
解得 B′=5T
根據(jù)能量守恒得 P_mt=mgh′+$\frac{1}{2}m{V}^{2}$+Q
得電路中產(chǎn)生的總焦耳熱Q=P_mt-mgh′-$\frac{1}{2}m{V}^{2}$=6×1-0.2×10×0.8-$\frac{1}{2}$×0.2×2²=4J
則棒變速運動階段在電阻R上的產(chǎn)生的熱量 Q_R=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{0.4}{0.4+0.1}×$4J=3.2J
答：（1）力做的功為1.4J．電路中電流的有效值為$\sqrt{10}$A．（2）B′的大小為5T，R上產(chǎn)生的焦耳熱為 3.2J．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合應用，關鍵要正確分析金屬棒的運動情況和受力情況，運用電路知識、力學知識和電磁感應知識結(jié)合解答．第2小題與汽車的起動類似，要理解x-t圖象的物理意義，運用能量關系解題．