Question

16．摩天大樓中一部直通高層的客運(yùn)電梯，行程超過百米．電梯的簡化模型如圖甲所示，考慮安全、舒適、省時(shí)等因素，電梯的加速度a是隨時(shí)間t變化的．已知電梯在t=0時(shí)由靜止開始上升，a-t圖象如圖乙所示．電梯總質(zhì)最m=2.0×10³kg，忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²．
（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）求1-10s內(nèi)拉力所做的功；
（3）求電梯以最大速率勻速上升時(shí)，拉力做功的功率P．

Answer 1

分析 （1）由圖讀出電梯向上加速運(yùn)動(dòng)的最大加速度和減速運(yùn)動(dòng)的最大加速度，由牛頓第二定律求解最大拉力和最小拉力；
（2）根據(jù)速度變化量等于第1 s內(nèi)a-t圖線與t軸所圍圖形的面積可得速度，1-10s電梯做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式求上升的高度，根據(jù)W=Fh拉力所做的功；
（2）由a-t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積，此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，由功率定義求解．

解答 解：（1）由牛頓第二定律有：F-mg=ma    
由a-t圖象可知，F(xiàn)₁和F₂對應(yīng)的加速度分別是：
a₁=1.0 m/s²，a₂=-1.0 m/s²，則
F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）F₁=2.2×10⁴ N     
F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）F₂=1.8×10⁴ N      
（2）由題意可得：所求速度變化量等于第1 s內(nèi)a-t圖線與t軸所圍圖形的面積，可得：
△v₁=0.5 m/s 
即：v₁=0.5 m/s          
1-10s電梯做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，上升的高度為：h=v₁t+$\frac{1}{2}$at²=0.5×9+$\frac{1}{2}$×1×9²=45m     
由（1）知F=2.2×10⁴ N，可得在這段時(shí)間內(nèi)拉力的功為：W=Fh=22000×45=9.9×10⁵J       
（3）由a-t圖象可知，11 s～30 s內(nèi)速率最大，其值v_m等于0～11 s內(nèi)a-t圖線與t軸所圍圖形的面積，此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，拉力F等于重力mg，v_m=10 m/s    
所求功率為：P=Fv_m=mg•v_m=2.0×10³×10×10 W=2.0×10⁵ W   
答：（1）電梯在上升過程中受到的最大拉力為2.2×10⁴ N和最小拉力為1.8×10⁴ N；
（2）1-10s內(nèi)拉力所做的功為9.9×10⁵J；
（3）電梯以最大速率勻速上升時(shí)，拉力做功的功率2.0×10⁵W．

點(diǎn)評 本題一要有基本的讀圖能力，并能根據(jù)加速度圖象分析電梯的運(yùn)動(dòng)情況；二要能運(yùn)用類比法，理解加速度圖象“面積”的物理意義．