Question

1．如圖所示，兩根粗細(xì)均勻的金屬桿AB和CD的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，電阻均為R，質(zhì)量分別為3m和m，用兩根等長(zhǎng)的、質(zhì)量和電阻均不計(jì)的、不可伸長(zhǎng)的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合回路，懸跨在絕緣的、水平光滑的圓棒兩側(cè)，AB和CD處于水平．在金屬桿AB的下方有高度為H的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B，方向與回路平面垂直，此時(shí)CD處于磁場(chǎng)中．現(xiàn)從靜止開(kāi)始釋放金屬桿AB，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間（AB、CD始終水平），在AB即將進(jìn)入磁場(chǎng)的上邊界時(shí)，其加速度為零，此時(shí)金屬桿CD還處于磁場(chǎng)中，在此過(guò)程中金屬桿AB上產(chǎn)生的焦耳熱為Q．重力加速度為g，試求：
（1）金屬桿AB即將進(jìn)入磁場(chǎng)上邊界時(shí)的速度v₁．
（2）在此過(guò)程中金屬桿CD移動(dòng)的距離h和通過(guò)導(dǎo)線截面的電量q．
（3）設(shè)金屬桿AB在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明v₂大小的可能范圍．
（4）依據(jù)第（3）問(wèn)的結(jié)果，請(qǐng)定性畫(huà)出金屬桿AB在穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域的過(guò)程中可能出現(xiàn)的速度-時(shí)間圖象（v-t圖）．

Answer 1

分析 （1）AB棒進(jìn)入磁場(chǎng)邊界時(shí)，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，分別對(duì)AB棒和CD棒運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件列式，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電勢(shì)公式、歐姆定律、安培力大小公式求出AB棒即將進(jìn)入磁場(chǎng)的上邊界時(shí)的速度v₁；
（2）對(duì)AB棒系統(tǒng)運(yùn)用能量守恒，抓住重力勢(shì)能的減小量等于系統(tǒng)動(dòng)能的增加量和產(chǎn)生的熱量之和求出CD移動(dòng)的距離h．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合電流的定義式求出通過(guò)導(dǎo)線截面的電量q．
（3）AB桿與CD桿都在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到勻速，此時(shí)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，分別對(duì)AB棒和CD棒運(yùn)用共點(diǎn)力平衡條件和安培力公式，進(jìn)行列式求解．
（4）AB桿以速度v₁進(jìn)入磁場(chǎng)，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運(yùn)動(dòng)，分兩種情況進(jìn)行討論

解答 解：（1）AB桿進(jìn)入磁場(chǎng)邊界時(shí)，加速度為零，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，則
對(duì)AB桿：3mg=2T，
對(duì)CD桿：2T=mg+BIL
又 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$   
解得：v₁=$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$     
（2）以AB、CD棒組成的系統(tǒng)在此過(guò)程中，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒有：
（3m-m）gh-2Q=$\frac{1}{2}$×4mv₁²
解得金屬桿CD移動(dòng)的距離：h=$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{mg{B}^{4}{L}^{4}}$
通過(guò)導(dǎo)線截面的電量：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{2R}$△t=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BLh}{2R}$=$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{2Rmg{B}^{3}{L}^{3}}$
（3）AB桿與CD桿都在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，直到達(dá)到勻速，此時(shí)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，
對(duì)AB桿：3mg=2T+BIL，
對(duì)CD桿：2T′=mg+BIL
又T′=T，F(xiàn)=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•{2}_{\;}{v}_{2}}{{2R}^{\;}}$
解得：v₂=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
所以$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$＜v₂＜$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$    
（4）AB桿以速度v₁進(jìn)入磁場(chǎng)，系統(tǒng)受到安培力（阻力）突然增加，系統(tǒng)做加速度不斷減小的減速運(yùn)動(dòng)，接下來(lái)的運(yùn)動(dòng)情況有四種可能性：

答：
（1）金屬桿AB即將進(jìn)入磁場(chǎng)上邊界時(shí)的速度v₁為$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）在此過(guò)程中金屬桿CD移動(dòng)的距離h為$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{mg{B}^{4}{L}^{4}}$，通過(guò)導(dǎo)線截面的電量q為$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}+Q{B}^{4}{L}^{4}}{2Rmg{B}^{3}{L}^{3}}$．
（3）v₂大小的可能范圍為 $\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$＜v₂＜$\frac{4mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（4）速度-時(shí)間圖象（v-t圖）見(jiàn)上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)和能量的綜合，關(guān)鍵能熟練推導(dǎo)安培力感應(yīng)電荷量．在平時(shí)的學(xué)習(xí)中需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．要掌握電量的表達(dá)式q=N$\frac{△Φ}{R+r}$．