Question

14．如圖所示，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37⁰的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為$\frac{5}{6}$R的光滑圓弧軌道相切于C點，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)．質(zhì)量為m的小物塊P自C點由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高到達(dá)F點，AF=4R，已知P與直軌道間的動摩擦因數(shù)?=$\frac{1}{4}$，重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8．則：
（1）求小物塊從C點到達(dá)E點的過程中重力勢能的減少量△E_P；
（2）求E點到B點的距離x以及小物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能E_P；
（3）改變小物塊P的質(zhì)量，將P推至E點，然后從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好通過G點．G點在C點左下方，與C點水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R．求P運動到D點時速度的大小v_D和物塊P改變后的質(zhì)量m’．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求得摩擦力做功的位移，進(jìn)而求得CE，然后根據(jù)重力勢能的表達(dá)式求解；
（2）由（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到x，然后對CE運動過程應(yīng)用動能定理即可求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求得平拋運動的位移，然后由平拋運動的位移公式求得v_D，在對E到D過程應(yīng)用動能定理即可求得m′．

解答 解：（1）小物塊從C到E再到F的運動過程，彈簧彈力做功為零，故只有重力摩擦力做功，故由動能定理可得：mgCFsin37°-μmgcos37°（CE+EF）=0；
所以，0.6（AC-AF）=0.2（CE+EF）=0.2（2CE-CF）=0.2（2CE+AF-AC），所以，CE=2（AC-AF）=6R；
那么，小物塊從C點到達(dá)E點的過程中重力勢能的減少量△E_p=mgCEsin37°=3.6mgR；
（2）E點到B點的距離x=EB=AB-AE=AB-（AC-CE）=R；
對小物塊從C到E的運動過程應(yīng)用動能定理可得：小物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能E_p=mgCEsin37°-μmgcos37°CE=2.4mgR；
（3）P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，做平拋運動，故由位移公式$\frac{7}{2}R-rsin37°=3R={v}_{D}t$，$R+r+rcos37°=2.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
所以，${v}_{D}=\frac{3R}{t}=\frac{3R}{\sqrt{\frac{5R}{g}}}$=$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$；
對P由E到D過程應(yīng)用動能定理可得：${E}_{p}-m′g（CEsin37°+r+rcos37°）-μm′gcos37°CE=\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$；
所以，2.4mgR-5.1m′gR-1.2m′gR=0.9m′gR，故$m′=\frac{1}{3}m$；
答：（1）小物塊從C點到達(dá)E點的過程中重力勢能的減少量△E_P為3.6mgR；
（2）E點到B點的距離x為R，小物塊P運動到E點時彈簧的彈性勢能E_P為2.4mgR；
（3）改變小物塊P的質(zhì)量，將P推至E點，然后從靜止開始釋放．已知P自圓弧軌道的最高點D處水平飛出后，恰好通過G點．G點在C點左下方，與C點水平相距$\frac{7}{2}$R、豎直相距R．那么P運動到D點時速度的大小v_D為$\frac{3}{5}\sqrt{5gR}$，物塊P改變后的質(zhì)量m’為$\frac{1}{3}m$．

點評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．