Question

12．如圖所示，長度為l的輕質(zhì)細繩，一端固定在O點，另一端連結(jié)一質(zhì)量為m的小球，O點距地面的高度為h．開始時，小球處在自然下垂位置；現(xiàn)給小球一個水平向左的初速度v₀，當小球到達最高點時，隨即解除細線與小球間的連結(jié)，小球做平拋運動，小球到達地面時的速度方向與水平方向的夾角等于45°，重力加速度為g，求：
（1）小球在地面上的落點P與O點間的水平距離；
（2）小球到達最高點細線與小球間的連結(jié)未解除時，細線對小球的拉力；
（3）小球的初速度v₀．

Answer 1

分析 （1）解除細線后小球開始做平拋運動，由下落的高度求出時間和落地時豎直分速度．由落地時的速度方向求出小球平拋運動的初速度，再求水平距離．
（2）小球在最高點時，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出細線的拉力．
（3）小球由最低點到最高點過程中，由機械能守恒定律求出小球的初速度v₀．

解答 解：（1）小球平拋過程中，有
   h+l=$\frac{1}{2}$gt²，得  t=$\sqrt{\frac{2（h+l）}{g}}$
  v_y²=2g（h+l），得落地時豎直分速度 v_y=$\sqrt{2g（h+l）}$ 
據(jù)題有 tan45°=$\frac{{v}_{y}}{v}$     
則得平拋運動的初速度 v=v_y=$\sqrt{2g（h+l）}$ 
所以落點P與O點間的水平距離  x=vt          
解得：x=2（h+l）    
（2）在最高點，由牛頓第二定律有
   F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$         
解得：F=（1+$\frac{2h}{l}$）mg         
（3）小球由最低點到最高點過程中，取最低點為參考點，由機械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2l+$\frac{1}{2}$mv²
解得：v₀=$\sqrt{2g（3l+h）}$                
答：
（1）小球在地面上的落點P與O點間的水平距離是2（h+l）；
（2）小球到達最高點細線與小球間的連結(jié)未解除時，細線對小球的拉力是（1+$\frac{2h}{l}$）mg；
（3）小球的初速度v₀是$\sqrt{2g（3l+h）}$．

點評 本題要分析清楚小球的運動過程，抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系，運用分解法研究平拋運動．明確圓周運動向心力的來源：指向圓心的合力．