Question

14．如圖所示，小球a、b用長度均為L的細線懸掛于同一固定點O．讓球a靜止下垂，將球b向右拉起，使細線水平伸直，由靜止釋放球b，兩球碰后粘在一起向左擺動，此后細線與豎直方向之間的最大偏角θ=60°．忽略空氣阻力，重力加速度大小為g．
（1）求兩球碰撞前瞬間，小球b的速度大小；
（2）求兩球的質量之比；
（3）若以小球運動的最低點所在的水平面為零勢能面，求a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前后的機械能之比．

Answer 1

分析 （1）b球下擺過程中，只有重力做功，由機械能守恒定律求出碰前b球的速度；
（2）兩球碰撞過程中動量守恒，由動量守恒定律列方程．碰后兩球向左擺動過程中，整體的機械能守恒，由機械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得兩球的質量之比；
（3）對于兩球碰撞前后，由機械能守恒定律得出它們的機械能，再求系統(tǒng)在碰撞前后的機械能之比．

解答 解：（1）設球a的質量為m₁，球b的質量為m₂．當球b擺到最低點，但未與球a相碰時的速度大小為v．由動能定理得
  m₂gL=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$
解得 v=$\sqrt{2gL}$
（2）設碰后瞬間兩球的共同速度為v′．在兩球從碰撞后到向左擺到最高位置的過程中，由動能定理得
-（m₁+m₂）gL（1-cos60°）=0-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）v{′}^{2}$
解得 v′=$\sqrt{gL}$
對于碰撞過程，以水平向左為正方向，由動量守恒定律得
   m₂v=（m₁+m₂）v′
解得 $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{2}$-1
（3）a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前的機械能為 E₁=m₂gL
a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞后的機械能為 E₂=m₂gL（1-cos60°）
結合 $\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}$=$\sqrt{2}$-1
解得 $\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}$=$\sqrt{2}$
答：
（1）兩球碰撞前瞬間，小球b的速度大小是$\sqrt{2gL}$；
（2）兩球的質量之比為$\sqrt{2}$-1；
（3）a、b兩球組成的系統(tǒng)在碰撞前后的機械能之比為$\sqrt{2}$：1．

點評 解決本題的關鍵是要明確小球在下擺或上擺過程中機械能守恒，碰撞過程中動量守恒，由動能定理（或機械能守恒定律）、動量守恒定律即可正確解題．