Question

5．碰撞過程中的能量傳遞規(guī)律在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．為了探究這一規(guī)律，我們采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直線上、且無機(jī)械能損失的簡化力學(xué)模型．如圖2所示，在固定光滑水平軌道上，質(zhì)量分別為m₁、m₂、m₃…m_n-1、m_n…的若干個球沿直線靜止相間排列，給第1個球初能E_k1，從而引起各球的依次碰撞．定義其中第n個球經(jīng)過依次碰撞后獲得的動能E_kn，E_kn與E_k1之比為第1個球?qū)Φ趎個球的動能傳遞系數(shù)k_1n
a、求k_1n
b、若m₁=4m₀，m₃=m₀，m₀為確定的已知量．求m₂為何值時，k₁₃值最大．

Answer 1

分析 a、由于兩球在碰撞的過程中機(jī)械能守恒，同時動量也守恒，列出方程組即可求得碰撞后小球m₂的速度大�。�
b、根據(jù)動能傳遞系數(shù)的定義，求出第n個球的動能，與第1個球的動能相比較即可，再根據(jù)得到的結(jié)論分析即可求得m₂的值．

解答 解：a、設(shè)碰撞前m₁的速度為v₁₀，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
m₁gh=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{10}^{2}$ …①
設(shè)碰撞后m₁與m₂的速度分別為v₁和v₂，取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律有：
m₁v₁₀=m₁v₁+m₂v₂…②
由于碰撞過程中無機(jī)械能損失，有：
 $\frac{1}{2}$m₁v₁₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂² …③
②、③式聯(lián)立解得：v₂=$\frac{2{m}_{1}{v}_{10}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…④
將①式代入④式得：v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gh}$
（2）①：由④式，考慮到E_K1=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{10}^{2}$和E_K2=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}$
得：E_k2=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{E}_{k1}$
根據(jù)動能傳遞系數(shù)的定義，對于1、2兩球有：k₁₂=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$…⑤
同理可得，球m₂和球m₃碰撞后，動能傳遞系數(shù)k₁₃應(yīng)為：
k₁₃=$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k1}}$=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$•$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k2}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$•$\frac{4{m}_{2}{m}_{3}}{（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}}$…⑥
依此類推，動能傳遞系數(shù)k_1n應(yīng)為：
k_1n=$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k1}}$=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$•$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k2}}$…$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k（n-1）}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$•$\frac{4{m}_{2}{m}_{3}}{（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}}$•…$\frac{4{m}_{n-1}{m}_{n}}{（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$
解得 k_1n=$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}^{\;}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}…（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$
b、將m₁=4m₀，m₃=m₀代入⑥式可得 ${k_{12}}=64m_0^2{[{\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_0}）}}}]^2}$
為使k₁₃最大，只需使 $\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_0}）}}=\frac{1}{{{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}+5{m_0}}}$最大，
即${m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}$取最小值，
由${m_2}+\frac{4m_0^2}{m^2}={（{\sqrt{m_2}-\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}}）^2}+4{m_0}$可知．
當(dāng)$\sqrt{m_2}=\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}$，即m₂=2m₀時，k₁₃最大．
答：a、k_1n是$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}^{\;}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}…（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$．
b、當(dāng)m₂=2m₀ 時，k₁₃值最大．

點(diǎn)評 本題目中給的信息比較多，并且是平時不曾遇到的，但是根據(jù)題目的信息，逐步分析，根據(jù)動能的規(guī)律歸納，可求出每個小球的動能，再作比較就能夠的出結(jié)論．