Question

若在相距很遠的兩顆行星A和B的表面各發(fā)射一顆衛(wèi)星a和b，它們都在行星表面附近做圓周運動，測得a繞行星A的周期為T_a，b繞行星B的周期為T_b，則這兩顆行星的密度之比ρ_A：ρ_B=

T_B²：T_A²

．

Answer 1

分析：此題要求要熟練的掌握萬有引力公式和向心力的各個表達式，根據(jù)條件選擇合適的公式，該題給了運動的周期，我們要選萬有引力的公式和m

4π2

T2

r進行聯(lián)立，推導(dǎo)出表示天體的質(zhì)量M的式子，再根據(jù)密度的公式ρ=

M

V

可表示出天體的密度．

解答：解：
由萬有引力定律的公式和向心力公式有：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
得：M=

4π2r3

GT2

ρ=

M

V

=

M

4 3 πR

=

3πr2

GT2R

（R為天體的半徑）
當衛(wèi)星沿天體表面繞天體運行時，r=R
則有：ρ=

3π

GT2

則會推導(dǎo)出ρ_A：ρ_B=T_B²：T_A²
故答案為：T_B²：T_A²

點評：萬有引力定律的公式的使用條件是適用于質(zhì)點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點，質(zhì)量分布均勻的球體可以視為質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點．
應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運動的基本方法是：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供．基本關(guān)系式是：G

Mm

r2

=m

v2

r

=mω2r=m(

2π

T

)2r = m(2πf)2 r=mωv，應(yīng)用時可根據(jù)實際情況選用適當?shù)墓�式進行分析或計算．