Question

2．如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑水平地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C．一物塊被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B滑上滑板．滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長(zhǎng)l=6.5R，板右端到C點(diǎn)距離L=2R，E距A為S=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g．求：
（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大�。�
（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）物塊到達(dá)右側(cè)半圓軌道能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）物塊從E到B點(diǎn)由動(dòng)能定理可求得到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）在B點(diǎn)由牛頓第二定律求的對(duì)半圓軌道的壓力；
（3）m、M系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出共同速度，應(yīng)用能量守恒定律與動(dòng)能定理求出上升的高度．

解答 解：（1）物塊從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B 點(diǎn)的過(guò)程中，只有皮帶對(duì)物塊的摩擦力和重力兩個(gè)力做功，由動(dòng)能定理得：
μmgs+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=3$\sqrt{gR}$；
（2）在B點(diǎn)，軌道對(duì)物塊支持力為F_N，由牛頓第二定律可得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=10mg
由牛頓第三定律可知，物塊對(duì)軌道的壓力為：F_N′=F_N=10mg；
（3）物塊m和木板M在相互作用的過(guò)程中動(dòng)量守恒，
設(shè)兩者可以達(dá)到共同速度，設(shè)為V₁，該過(guò)程中木板運(yùn)動(dòng)的位移為X₁，兩者的相對(duì)位移為x．
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv=（m+2m）v₁，
解得：v₁=$\sqrt{gR}$，
由能量守恒定律得：μmgx=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²，
解得：x=6R＜6.5R，
對(duì)木板，由動(dòng)能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}$•2mv₁²，
解得：x₁=2R，
故物塊與木板達(dá)到共同速度時(shí)，木板恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，對(duì)物塊應(yīng)用動(dòng)能定理得：
μmg（l-x）+mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：h=$\frac{1}{4}$R；
答：（1）物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為3$\sqrt{gR}$；
（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為10mg；
（3）物塊到達(dá)右側(cè)半圓軌道能上升的最大高度為$\frac{1}{4}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．