Question

13．1990年4月25日，科學(xué)家將哈勃天文望遠(yuǎn)鏡送上距地球表面約600km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大進(jìn)展．假設(shè)哈勃望遠(yuǎn)鏡沿圓軌道繞地球運(yùn)行．已知地球半徑為6.4×10⁶ m，利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為一定值這一事實(shí)可得到哈勃望遠(yuǎn)鏡繞地球運(yùn)行的周期．（g取10m/s²，77.53${\;}^{\frac{1}{3}}$=4.26，最后結(jié)果均保留2為有效數(shù)字．）
（1）試計(jì)算同步衛(wèi)星與地球表面的距離；
（2）哈勃望遠(yuǎn)鏡的運(yùn)行周期．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力和地球表面的物體所受的重力約等于地球?qū)λ�的萬有引力列出等式求解；
哈勃天文望遠(yuǎn)鏡繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)哈勃天文望遠(yuǎn)鏡的萬有引力等于向心力和地球表面重力加速度公式，列出兩式聯(lián)立求解出周期表達(dá)式，再代入進(jìn)行計(jì)算；也可以將哈勃天文望遠(yuǎn)鏡與同步衛(wèi)星的周期直接比較求解；還可以運(yùn)用開普勒第三定律求解．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
r=R+h，同步衛(wèi)星的周期T=24 h=24×3600s=8.64×10⁴s
處于地球表面的物體所受的重力約等于地球?qū)λ�的萬有引力：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得r=4.26×10⁷ m．
所以地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離h=r-R=3.6×10⁷ m．
（2）由開普勒第三定律可知，$\frac{{{（h}_{1}+R）}^{3}}{{T}_{1}^{2}}$=$\frac{{（h+R）}^{3}}{{T}^{2}}$，
R為地球的半徑，h₁、T₁、h、T分別表示哈勃望遠(yuǎn)鏡到地表的距離、哈勃望遠(yuǎn)鏡的周期、同步衛(wèi)星到地表的距離、同步衛(wèi)星的周期（24 h），
代入數(shù)據(jù)解得T₁=1.6 h
答：（1）同步衛(wèi)星與地球表面的距離是3.6×10⁷ m；
（2）哈勃望遠(yuǎn)鏡的運(yùn)行周期是1.6 h．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用，注意軌道半徑與高度的區(qū)別．