Question

10．設(shè)地球半徑為R₀，地球表面重力加速度為g₀，地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，自轉(zhuǎn)角速度為ω₀，地球質(zhì)量為M，地球的第一宇宙速度為v₀，同步衛(wèi)星離地面高度為h，萬有引力常量為G，請推導(dǎo)證明同步衛(wèi)星的線速度v₁的大小表達(dá)式，寫出一個得4分，至少寫出二個．

Answer 1

分析 同步衛(wèi)星的軌道半徑為r=R+h，其運(yùn)動周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期，根據(jù)線速度與周期的關(guān)系可得出線速度的表達(dá)式．根據(jù)萬有引力提供向心力，運(yùn)用比例法也能得到線速度與R、h的關(guān)系式．

解答 解：同步衛(wèi)星的軌道半徑為r=R₀+h，其運(yùn)動周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期T₀，則線速度為：
v₁=$\frac{2πr}{{T}_{0}}$=$\frac{2π（{R}_{0}+h）}{{T}_{0}}$．
根據(jù)牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{（{R}_{0}+h）^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R+h}$
得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{R}_{0}+h}}$…①
又g₀=$\frac{GM}{{{R}_{0}}^{2}}$…②
聯(lián)立得到：v₁=${R}_{0}\sqrt{\frac{{g}_{0}}{{R}_{0}+h}}$．
答：同步衛(wèi)星的線速度的表達(dá)式為v₁=$\frac{2π（{R}_{0}+h）}{{T}_{0}}$或v₁=${R}_{0}\sqrt{\frac{{g}_{0}}{{R}_{0}+h}}$．

點(diǎn)評 對于衛(wèi)星問題，關(guān)鍵要建立物理模型，運(yùn)用萬有引力和向心力知識、加上數(shù)學(xué)變形求解．