Question

如圖所示，兩根豎直平行放置的光滑金屬導軌相距為L，中間接有一阻值為R的定值電阻，在兩導軌間abdc矩形區(qū)域內分布有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直導軌平面向里，寬度為d．一質量為m，電阻為r的導體棒MN垂直擱在導軌上，與磁場上邊邊界相距d₀．現使棒MN由靜止開始釋放，當MN最終離開磁場前已開始做勻速直線運動，導軌電阻不計，棒下落過程中始終保持水平，并與導軌接觸良好．
（1）求MN在離開磁場下邊界時的速度大小；
（2）在通過磁場區(qū)域的過程中，求電流所做的功；
（3）試分析討論棒在磁場中各種可能出現的運動情況及其對應的條件．

Answer 1

分析：（1）棒MN在離開磁場前已經做勻速直線運動，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時的速度．
（2）從MN棒開始下滑到剛離開磁場的過程，運用能量守恒定律可以求出金屬棒產生的焦耳熱．
（3）根據棒進入磁場時的速度大小，討論棒在磁場中的運動情況．

解答：解：（1）設MN棒離開磁場邊界前做勻速運動的速度為v，產生的電動勢為E=BLv    
電路中電流 I=

E

R+r

對MN棒，由平衡條件得 mg-BIL=0                   
解得 v=

mg(R+r)

B2L2

（2）從MN棒開始下滑到剛離開磁場的過程，由能量守恒定律得：
mg(d0+d)=E電+

1

2

mv2                 
解得整個電路中產生的焦耳熱為：E電=mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

則棒MN在通過磁場區(qū)的過程中產生的焦耳熱；E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
（3）設棒自由落體d₀高度歷時為t₀，由d0=

1

2

g

t

2 0

，
得t0=

2d0 g

棒在磁場中勻速時速度為v=

mg(R+r)

B2L2

設t=

v

g

=

m(R+r)

B2L2

當t₀=t，即d0=

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做勻速直線運動
當t₀＜t，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先加速后勻速直線運動
當t₀＞t，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先減速后勻速直線運動．
畫出棒在下落高度d+d₀過程中速度隨下落高度h變化所對應的各種可能的圖線如圖所示．
答：
（1）棒MN在離開磁場下邊界時的速度為v=

mg(R+r)

B2L2

；
（2）棒MN在通過磁場區(qū)的過程中產生的焦耳熱為E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；
（3）d0=

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做勻速直線運動，即d0＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先加速后勻速直線運動，即d0＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先減速后勻速直線運動．

點評：本題最后一問是本題的難點，根據棒進入磁場的時刻進行分析討論是正確解題的關鍵．