Question

如圖所示是放置在豎直平面內(nèi)的游戲滑軌，有一質(zhì)量m=2kg的小球穿在軌道上．滑軌由四部分粗細(xì)均勻的滑桿組成；水平軌道AB；與水平面間的成夾角θ=37⁰且長(zhǎng)L=6m的傾斜直軌道CD；半徑R=1m的圓弧軌道APC；半徑R=3m的圓弧軌道BQED．直軌道與圓弧軌道相切，切點(diǎn)分別為A、B、D、C，E為最低點(diǎn)．傾斜軌道CD與小球間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=

5

32

，其余部分均為光滑軌道，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．現(xiàn)讓小球從AB的正中央以初速度v₀=10m/s開始向左運(yùn)動(dòng)，問：
（1）第一次經(jīng)過E處時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力為多大？
（2）小球第一次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度為多大？
（3）小球在運(yùn)動(dòng)過程中，損失的機(jī)械能最多為多少？

Answer 1

分析：（1）從開始運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá)E點(diǎn)的過程中運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，在E點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）小球從E到C的過程中，有重力和滑動(dòng)摩擦力做功，結(jié)合動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程即可求解．
（3）小球最終在BQED圓弧軌道中來回?cái)[動(dòng)，在D點(diǎn)的速度為零，通過動(dòng)能和重力勢(shì)能的減小量求出機(jī)械能的損失量．

解答：解：（1）球第一次過E點(diǎn)時(shí)，速度大小為v_E，由機(jī)械能守恒定律，有：

1

2

mv02+2mgR2=

1

2

mvE2  ①
在E點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有
F-mg=m

vE2

R2

     ②
聯(lián)立①②式，可解得：
軌道對(duì)小球的支持力為F=5mg+m

v02

R2

=

500

3

N=167N．
（2）從E到C的過程中，重力做功：
W_G=-mg（Lsin37°+R₂-R₂cos37°） …③
從D到C的過程中，滑動(dòng)摩擦力做功W_f=-μmgcos37°L …④
設(shè)第一次到達(dá)C點(diǎn)的速度大小為v_c，小球從E到C的過程中，由動(dòng)能定理，有

1

2

mvC2-

1

2

mvE2=WG+Wf     ⑤
由①③④⑤式，可解得 v_c=11m/s
（3）物體多次循環(huán)運(yùn)動(dòng)后，在D點(diǎn)瞬間速度為零．
則機(jī)械能的減小量為△E=

1

2

mv02+mgR2(1+cos37°)=208J．
答：（1）第一次經(jīng)過E處時(shí)，軌道對(duì)小球的作用力為F_n=167．N
（2）小球第一次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度為V_c=11m/s
（3）小球在運(yùn)動(dòng)過程中，損失的機(jī)械能最多為208J．

點(diǎn)評(píng)：個(gè)題目可能需要選擇不同的過程多次運(yùn)用動(dòng)能定理研究．
圓周運(yùn)動(dòng)問題關(guān)鍵要通過受力分析找出向心力的來源列出等式解決問題．