Question

12．如圖所示，半徑為r的金屬圓環(huán)置于水平面內(nèi)，三條電阻均為R的導(dǎo)體桿Oa、Ob和Oc互成120°連接在圓心O和圓環(huán)上，圓環(huán)繞經(jīng)過(guò)圓心O的豎直金屬轉(zhuǎn)軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)與圓環(huán)所在平面相交，相交區(qū)域?yàn)橐蝗鐖D虛線所示的正方形．C為平行板電容器，通過(guò)固定的電刷P和Q接在圓環(huán)和金屬轉(zhuǎn)軸上，電容器極板長(zhǎng)為l，兩極板的間距為d．有一細(xì)電子束沿兩極板間的中線以大小為v₀（v₀＞$\frac{2ωl}{π}$）的初速度連續(xù)不斷地射入C．已知射入的電子全部都能通過(guò)C所在區(qū)域，電子電荷量為e，質(zhì)量為m．忽略圓環(huán)的電阻、電容器的充電放電時(shí)間及電子所受的重力和阻力．
（1）射入的電子發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)是向上偏轉(zhuǎn)還是向下偏轉(zhuǎn)？
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）題中三個(gè)導(dǎo)體桿做切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)右手定則判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向，確定出兩金屬板電勢(shì)的高低，即可判斷電子的偏轉(zhuǎn)方向．
（2）電子進(jìn)入電容器C后，某一導(dǎo)體棒也開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)，電子電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向不受電場(chǎng)力而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向受到電場(chǎng)力而做勻加速運(yùn)動(dòng)；在沒(méi)有電場(chǎng)的時(shí)間內(nèi)豎直方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過(guò)電容器C，必須滿足的條件是y≤$\fracqy6aogg{2}$，聯(lián)立可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍．

解答 解：（1）三個(gè)導(dǎo)體桿做切割磁感線，根據(jù)右手定則判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向指向圓心，所以上極板的電勢(shì)高，射入的電子受到的電場(chǎng)力的方向向上，發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)是向上偏轉(zhuǎn)．
（2）當(dāng)導(dǎo)體桿處于磁場(chǎng)中時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)
E=$\frac{1}{2}$Br²ω    
此時(shí)，磁場(chǎng)中導(dǎo)體桿的電阻為內(nèi)電阻，其余的電阻為外電阻，電容器的電壓
U=$\frac{R/2}{R+R/2}$E=$\frac{1}{3}$E 
射入的電子在兩極板間運(yùn)動(dòng)        l=v₀t  
因?yàn)関₀＞$\frac{2ωl}{π}$，所以t＜$\frac{π}{2ω}$，而$\frac{π}{2ω}$就是每條導(dǎo)體桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，因此有部分電子在兩極板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，極板間的電場(chǎng)始終存在，這部分電子在極板間的偏轉(zhuǎn)量最大．
設(shè)電子恰好能離開(kāi)通過(guò)C，有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{eU}{2md}$t²=$\fracocaga2u{2}$
由以上各式得    B=$\frac{{6m{v_0}^2{d^2}}}{{eω{r^2}{l^2}}}$
磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足的條件是$B＜\frac{{6m{v_0}^2{d^2}}}{{eω{r^2}{l^2}}}$．
答：（1）射入的電子發(fā)生偏轉(zhuǎn)時(shí)是向上偏轉(zhuǎn)；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足$B＜\frac{{6m{v_0}^2{d^2}}}{{eω{r^2}{l^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、電場(chǎng)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運(yùn)用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運(yùn)動(dòng)情況，便于理解．